ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Равнобедренные треугольники \(ABC\) и \(ABD\), имеющие общее основание \(AB\), лежат в гранях двугранного угла с ребром \(AB\), величина которого равна \(60^\circ\). Найдите расстояние между точками \(C\) и \(D\), если \(AD = 10\) см, \(AB = 16\) см, \(\angle ACB = 90^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) и равными сторонами \(AC = BC\) основание \(AB = 16\) см, высота \(CM = \frac{1}{2} AB = 8\) см.

В треугольнике \(ABD\) по теореме Пифагора \(BD = \sqrt{AB^2 — AD^2} = \sqrt{16^2 — 10^2} = 6\) см.

Расстояние \(CD\) между точками в двугранном угле с углом \(60^\circ\) вычисляется по формуле косинусов:

\(CD^2 = CB^2 + BD^2 — 2 \cdot CB \cdot BD \cdot \cos 60^\circ = 64 + 36 — 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 52\).

Отсюда \(CD = 2 \sqrt{13}\) см.

Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB = 16\) см и прямым углом при вершине \(C\). Поскольку \(AC = BC\) и \(\angle ACB = 90^\circ\), то высота, проведённая из \(C\) на основание \(AB\), делит его пополам. Следовательно, длина отрезка \(CM\), где \(M\) — середина \(AB\), равна половине основания, то есть \(CM = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\) см. Это означает, что \(AC = BC = 8\) см, так как \(C\) лежит на перпендикуляре к \(AB\) в точке \(M\).

В треугольнике \(ABD\) известно, что \(AD = 10\) см, а основание \(AB = 16\) см. Чтобы найти длину \(BD\), применим теорему Пифагора к треугольнику \(ABD\), где \(AB\) — гипотенуза, а \(AD\) и \(BD\) — катеты. Тогда \(BD = \sqrt{AB^2 — AD^2} = \sqrt{16^2 — 10^2} = \sqrt{256 — 100} = \sqrt{156} = 6\) см.

Для вычисления расстояния \(CD\) между точками \(C\) и \(D\), учитывая двугранный угол при ребре \(AB\), равный \(60^\circ\), используем формулу косинусов в трёхмерном пространстве. В треугольнике с вершинами \(C\), \(D\) и \(B\) известны стороны \(CB = 8\) см и \(BD = 6\) см, а угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен \(60^\circ\). Тогда

\(CD^2 = CB^2 + BD^2 — 2 \cdot CB \cdot BD \cdot \cos 60^\circ = 8^2 + 6^2 — 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 64 + 36 — 48 = 52\).

Из этого следует, что длина отрезка \(CD\) равна \(CD = \sqrt{52} = 2 \cdot \sqrt{13}\) см.