ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) лежат в разных плоскостях, \(AB = BC = AD = CD = 4\) см, \(AC = 6\) см, \(BD = \sqrt{21}\) см. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\).

Длины \(AB = BC = AD = CD = 4\), \(AC = 6\), \(BD = \sqrt{21}\).

Высота \(BM = \sqrt{4^2 — 3^2} = \sqrt{16 — 9} = \sqrt{7}\), аналогично \(DM = \sqrt{7}\).

В треугольнике \(BMD\) \(\cot \angle BMD = \frac{BM}{BD} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Отсюда \(\angle BMD = 60^\circ\).

Угол между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\) равен \(60^\circ\).

Дано, что стороны \(AB = BC = AD = CD = 4\) см, а основание \(AC = 6\) см. Это значит, что треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равнобедренные с равными боковыми сторонами. Для нахождения угла между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\) необходимо рассмотреть высоты, опущенные из точек \(B\) и \(D\) на сторону \(AC\). Поскольку треугольники равнобедренные, точка основания высоты \(M\) делит \(AC\) пополам, то есть \(AM = MC = 3\) см.

Далее вычисляем длину высоты \(BM\) в треугольнике \(ABC\). По теореме Пифагора: \(BM = \sqrt{AB^{2} — AM^{2}} = \sqrt{4^{2} — 3^{2}} = \sqrt{16 — 9} = \sqrt{7}\) см. Аналогично высота \(DM\) в треугольнике \(ADC\) равна также \(\sqrt{7}\) см, так как треугольники симметричны. Теперь рассмотрим треугольник \(BMD\), в котором известна сторона \(BD = \sqrt{21}\) см и равные стороны \(BM = DM = \sqrt{7}\) см.

Для нахождения угла между высотами \(BM\) и \(DM\), который является углом между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\), используем косинус или котангенс угла. Котангенс угла \(BMD\) равен отношению прилежащей стороны к противолежащей, то есть \(\cot \angle BMD = \frac{BM}{BD} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7 \cdot 3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Из этого следует, что угол \(\angle BMD = 60^\circ\).

Таким образом, угол между плоскостями \(ABC\) и \(ADC\) равен \(60^\circ\).