ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точек \(A\) и \(B\), принадлежащих разным граням двугранного угла, опустили перпендикуляры \(AC\) и \(BD\) на его ребро. Найдите данный двугранный угол, если \(AC = CD = BD = 2\) см, \(AB = 2\sqrt{2}\) см.

В треугольнике \(CDE\) вычисляем \(ED\) по теореме Пифагора: \(ED = \sqrt{CE^2 — CD^2} = \sqrt{8 — 4} = 2\) см.

Треугольник \(BDE\) равносторонний, так как \(BD = DE = 2\) см.

Следовательно, двугранный угол \(\angle DBE = 60^\circ\).

Рассмотрим треугольник \(CDE\). Из условия известно, что \(CE = 2\sqrt{2}\) см, а \(CD = 2\) см. Чтобы найти длину отрезка \(ED\), применим теорему Пифагора, так как \(CDE\) — прямоугольный треугольник с прямым углом при \(D\). Тогда \(ED^2 = CE^2 — CD^2\), то есть \(ED = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 — 2^2} = \sqrt{8 — 4} = \sqrt{4} = 2\) см. Таким образом, отрезок \(ED\) равен 2 см.

Далее рассмотрим треугольник \(BDE\). Из условия известно, что \(BD = 2\) см, а мы только что нашли, что \(ED = 2\) см. Значит, два его стороны равны. По условию \(BD = ED = 2\) см, а \(BE\) — ребро двугранного угла, на которое опущены перпендикуляры \(BD\) и \(AC\). Поскольку \(BD\) и \(ED\) равны, треугольник \(BDE\) является равнобедренным. При этом, учитывая, что \(AB = 2\sqrt{2}\) см, и что \(AC = 2\) см, а \(CD = 2\) см, можно заключить, что треугольник \(BDE\) равносторонний с углом \(60^\circ\).

Таким образом, двугранный угол, образованный плоскостями с ребром \(BE\), равен углу \(DBE\) в треугольнике \(BDE\), который равен \(60^\circ\). Это следует из равенства сторон \(BD\), \(DE\) и \(BE\), что подтверждает равносторонность треугольника и равенство всех внутренних углов к \(60^\circ\).