ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Концы отрезка \(CD\) принадлежат разным граням двугранного угла, равного \(30^\circ\). Из точек \(C\) и \(D\) опустили перпендикуляры \(CE\) и \(DF\) на ребро двугранного угла. Найдите отрезок \(CE\), если \(CD = 5\) см, \(DF = 4\sqrt{3}\) см, \(EF = 2\) см.

В треугольнике \(CKO\) по теореме Пифагора \(KO^2 = CO^2 — CK^2\), откуда \(KO = \sqrt{25 — 4} = \sqrt{21}\).

В треугольнике \(KFD\) применяем теорему косинусов: \(KO^2 = KF^2 + FD^2 — 2 \cdot KF \cdot FD \cdot \cos 30^\circ\).

Подставляем данные: \(21 = x^2 + 48 — 2 \cdot x \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\), упрощаем до \(x^2 — 12x + 27 = 0\).

Вычисляем дискриминант \(D = 144 — 108 = 36\).

Корни уравнения: \(x_1 = \frac{12 + 6}{2} = 9\), \(x_2 = \frac{12 — 6}{2} = 3\).

Отрезок \(CE\) равен \(9\) или \(3\) см.

Рассмотрим треугольник \(CKO\), где \(CO = 5\) см, а \(EK = 2\) см. По условию, \(CK\) — высота, равная \(4\sqrt{3}\) см, перпендикулярная к основанию. Применяем теорему Пифагора для нахождения отрезка \(KO\): \(KO^2 = CO^2 — CK^2\). Подставляя значения, получаем \(KO^2 = 5^2 — (4\sqrt{3})^2 = 25 — 48 = -23\), что невозможно, значит \(EK\) — не \(2\) см, а \(EF = 2\) см, и \(EK\) нужно найти иначе.

Далее рассматриваем треугольник \(KFD\), где \(KD = KO = \sqrt{21}\) см, \(FD = 4\sqrt{3}\) см, а угол между гранями равен \(30^\circ\). Используем теорему косинусов: \(KD^2 = KF^2 + FD^2 — 2 \cdot KF \cdot FD \cdot \cos 30^\circ\). Подставляем известные значения: \(21 = x^2 + (4\sqrt{3})^2 — 2 \cdot x \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\), где \(x = KF\). Упрощаем: \(21 = x^2 + 48 — 12x\).

Переносим все в левую часть уравнения и получаем квадратное уравнение \(x^2 — 12x + 27 = 0\). Вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -12\), \(c = 27\). Получаем \(D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 — 108 = 36\). Корни уравнения находятся по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), то есть \(x_1 = \frac{12 + 6}{2} = 9\) и \(x_2 = \frac{12 — 6}{2} = 3\).

Таким образом, отрезок \(CE\) может быть равен либо \(9\) см, либо \(3\) см, так как оба решения удовлетворяют геометрическим условиям задачи.