ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(MA\) — перпендикуляр к плоскости ромба \(ABCD\). Найдите тангенс угла между плоскостями \(ABC\) и \(MCD\), если \(MA = AB\), \(\angle ABC = 120^\circ\).

Отрезок \(MA\) перпендикулярен плоскости ромба, значит угол между плоскостями равен углу между \(MA\) и линией пересечения этих плоскостей.

Так как \(MA = AB\), а угол \(ABC = 120^\circ\), вычисляем тангенс угла:

\(\tan \angle (ABC, MCD) = \frac{MA}{MK} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\).

Отрезок \(MA\) перпендикулярен плоскости ромба \(ABCD\), следовательно, \(MA \perp ABCD\). Это означает, что \(MA\) является высотой, проведённой из точки \(M\) к плоскости ромба. Угол между плоскостями \(ABC\) и \(MCD\) равен углу между \(MA\) и линией пересечения этих плоскостей, которая лежит в плоскости ромба. Для нахождения тангенса этого угла нужно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный отрезками \(MA\) и проекцией \(MK\) на плоскость ромба.

По условию задачи \(MA = AB\), а угол \(ABC = 120^\circ\). В ромбе стороны равны, значит \(AB = BC = CD = DA\). Линия пересечения плоскостей \(ABC\) и \(MCD\) проходит через точку \(K\), которая является проекцией точки \(M\) на плоскость ромба. Для вычисления длины проекции \(MK\) используем свойства ромба и тригонометрию. Из треугольника \(ABC\) с углом \(120^\circ\) можно найти длину диагонали, которая поможет определить \(MK\).

Используя формулу для тангенса угла между плоскостями, получаем: \(\tan \angle (ABC, MCD) = \frac{MA}{MK}\). Подставляя известные значения и вычисляя, получаем \(\tan \angle (ABC, MCD) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}\). Таким образом, тангенс угла между плоскостями равен \(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\).