ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между плоскостями \(BMD\) и \(A_1BD\).

Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\), значит \(M = (1,1,\frac{1}{2})\).

Векторы в плоскости \(BMD\): \(\overrightarrow{BM} = (0,1,\frac{1}{2})\), \(\overrightarrow{BD} = (-1,1,0)\).

Векторы в плоскости \(A_1BD\): \(\overrightarrow{A_1B} = (1,0,-1)\), \(\overrightarrow{A_1D} = (0,1,-1)\).

Нормали к плоскостям: \(\mathbf{n_1} = \overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BD} = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)\), \(\mathbf{n_2} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1D} = (1,1,1)\).

Скалярное произведение нормалей: \(\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = -\frac{1}{2} — \frac{1}{2} + 1 = 0\).

Угол между плоскостями \(\theta\) вычисляется по формуле \(\cos \theta = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}|} = 0\), значит \(\theta = 90^\circ\).

Ответ: угол между плоскостями равен \(90^\circ\).

Точка \(M\) является серединой ребра \(CC_1\) куба, следовательно, её координаты находятся как среднее арифметическое координат точек \(C\) и \(C_1\). Если принять длину ребра куба равной единице и расположить куб в декартовой системе координат так, что \(A = (0,0,0)\), \(B = (1,0,0)\), \(C = (1,1,0)\), \(D = (0,1,0)\), а верхняя грань \(A_1B_1C_1D_1\) лежит на высоте \(z=1\), то \(C_1 = (1,1,1)\). Тогда координаты точки \(M\) будут равны \(M = \left(1,1,\frac{1}{2}\right)\).

Для определения угла между плоскостями \(BMD\) и \(A_1BD\) необходимо найти нормали к этим плоскостям. В плоскости \(BMD\) можно взять два вектора: \(\overrightarrow{BM} = M — B = (0,1,\frac{1}{2})\) и \(\overrightarrow{BD} = D — B = (-1,1,0)\). В плоскости \(A_1BD\) вектора будут \(\overrightarrow{A_1B} = B — A_1 = (1,0,-1)\) и \(\overrightarrow{A_1D} = D — A_1 = (0,1,-1)\). Нормаль к плоскости находится как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

Вычислим нормаль к плоскости \(BMD\): \(\mathbf{n_1} = \overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BD} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)\). Аналогично для плоскости \(A_1BD\) нормаль будет \(\mathbf{n_2} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1D} = (1,1,1)\). Чтобы найти угол между плоскостями, нужно вычислить угол между нормалями. Для этого используется формула косинуса угла: \(\cos \theta = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}| \cdot |\mathbf{n_2}|}\), где \(\cdot\) — скалярное произведение, а \(|\cdot|\) — длина вектора.

Скалярное произведение нормалей равно \(\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = -\frac{1}{2} \cdot 1 + -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -\frac{1}{2} — \frac{1}{2} + 1 = 0\). Модули векторов: \(|\mathbf{n_1}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}}\), и \(|\mathbf{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\). Подставляя значения в формулу, получаем \(\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{3}} = 0\), что означает, что угол между плоскостями равен \(90^\circ\).