ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) равноудалена от вершин квадрата \(ABCD\), точка \(O\) — центр данного квадрата, \(MO = AC\). Точка \(K\) — середина отрезка \(MC\). Найдите тангенс угла между плоскостями \(BMD\) и \(BKD\).

Точка \(M\) равноудалена от вершин квадрата, значит \(M\) лежит на перпендикуляре к плоскости квадрата через центр \(O\). По условию \(MO = AC\), где \(AC\) — диагональ квадрата.

Точка \(K\) — середина \(MC\), значит \(OK = \frac{1}{2} MO = \frac{1}{2} AC\).

Угол между плоскостями \(BMD\) и \(BKD\) равен углу между отрезками \(MO\) и \(OK\).

Тогда \(\tan \angle (BMD, BKD) = \tan \angle MOK = \frac{OK}{MO} = \frac{1}{2}\).

Точка \(M\) равноудалена от всех вершин квадрата \(ABCD\), значит она лежит на оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через его центр \(O\). Это следует из симметрии фигуры: расстояния от \(M\) до всех вершин равны, а вершины квадрата лежат в одной плоскости, поэтому \(M\) находится на линии, проходящей через центр квадрата и перпендикулярной этой плоскости.

По условию \(MO = AC\), где \(AC\) — диагональ квадрата. Диагональ квадрата равна \(AC = a \sqrt 2\), если \(a\) — длина стороны квадрата. Для удобства можно считать \(MO = 1\) (единица измерения), тогда длина диагонали тоже равна 1 в условных единицах. Точка \(K\) — середина отрезка \(MC\), значит \(OK = \frac{1}{2} MC\). Поскольку \(M\) лежит на перпендикуляре к плоскости квадрата, \(MC\) можно рассматривать как гипотенузу в треугольнике \(MOC\), где \(OC\) — половина диагонали квадрата.

Угол между плоскостью \(BMD\) и плоскостью \(BKD\) равен углу между векторами, лежащими в этих плоскостях, и можно свести к вычислению угла между отрезками \(MO\) и \(OK\). Тогда \(\tan \angle (BMD, BKD) = \tan \angle MOK = \frac{OK}{MO} = \frac{1}{2}\). Таким образом, тангенс угла между плоскостями равен половине единицы, что и является искомым значением.