ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(BA = BC = 17\) см, \(DA = DC = 25\) см, \(BD = 28\) см, \(AC = 15\sqrt{3}\) см. Найдите угол между плоскостями \(BAD\) и \(BCD\).

Площадь треугольника \(BDC\) найдена по формуле Герона: \(p = \frac{25 + 17 + 28}{2} = 35\), \(S = \sqrt{35 \cdot 10 \cdot 18 \cdot 7} = 210\).

Высота из вершины \(B\) на сторону \(DC\) равна \(h = \frac{2 \cdot 210}{28} = 15\).

Для нахождения угла между плоскостями используем косинус угла между ребрами \(DM\) и \(MC\): \(DC^2 = DM^2 + MC^2 — 2 \cdot DM \cdot MC \cdot \cos \angle DMC\), подставляя \(675 = 225 + 225 — 2 \cdot 225 \cdot \cos \angle DMC\).

Отсюда \(\cos \angle DMC = -\frac{1}{2}\), значит угол равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Для начала вычисляем площадь треугольника \(BDC\) по формуле Герона. Полупериметр равен \(p = \frac{25 + 17 + 28}{2} = 35\). Затем площадь вычисляется как \(S = \sqrt{p(p — 25)(p — 17)(p — 28)} = \sqrt{35 \cdot 10 \cdot 18 \cdot 7} = 210\). Это важно, так как площадь поможет найти высоту, опущенную из вершины \(B\) на сторону \(DC\).

Далее находим высоту \(h\), используя формулу площади треугольника через основание и высоту: \(S = \frac{1}{2} \times DC \times h\). Подставляя значения, получаем \(210 = \frac{1}{2} \times 28 \times h\), откуда \(h = \frac{2 \times 210}{28} = 15\). Высота необходима для определения взаимного расположения плоскостей, так как она показывает расстояние между точками в пространстве.

Чтобы найти угол между плоскостями \(BAD\) и \(BCD\), рассматриваем угол между ребрами \(DM\) и \(MC\) в треугольнике \(ADC\). По теореме косинусов: \(AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} — 2 \times AD \times DC \times \cos \angle ADC\). Подставляя данные, получаем \((15 \sqrt{3})^{2} = 25^{2} + 25^{2} — 2 \times 25 \times 25 \times \cos \angle ADC\), то есть \(675 = 625 + 625 — 1250 \times \cos \angle ADC\). Отсюда \(\cos \angle ADC = \frac{625 + 625 — 675}{1250} = \frac{575}{1250} = 0,46\), что помогает определить угол между плоскостями. Однако для угла между плоскостями \(BAD\) и \(BCD\) используется другой подход: по формуле косинуса угла между векторами, где \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\), что соответствует углу \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).