ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.40 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(AC = AB = 15\) см, \(DB = DC = 13\) см, \(AD = 14\) см, \(BC = 12\sqrt{2}\) см. Найдите угол между плоскостями \(BAD\) и \(CAD\).

В треугольнике ABD полупериметр \(p = \frac{14 + 13 + 15}{2} = 21\). Площадь \(S = \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} = 84\). Высота \(BM = \frac{2S}{AD} = \frac{2 \times 84}{14} = 12\).

Аналогично для треугольника ACD высота \(CM = 12\).

В треугольнике BMC по теореме косинусов \(BC^2 = BM^2 + CM^2 — 2 BM CM \cos \angle BMC\).

Подставляем: \( (12\sqrt{2})^2 = 12^2 + 12^2 — 2 \times 12 \times 12 \cos \angle BMC\), откуда \(\cos \angle BMC = 0\).

Следовательно, угол между плоскостями \(BAD\) и \(CAD\) равен \(90^\circ\).

В треугольнике ABD стороны равны \(AB = 15\), \(BD = 13\), \(AD = 14\). Сначала вычислим полупериметр по формуле \(p = \frac{AB + BD + AD}{2} = \frac{15 + 13 + 14}{2} = 21\). Теперь найдем площадь треугольника ABD с помощью формулы Герона: \(S = \sqrt{p(p — AB)(p — BD)(p — AD)} = \sqrt{21(21 — 15)(21 — 13)(21 — 14)} = \sqrt{21 \times 6 \times 8 \times 7} = \sqrt{7056} = 84\). Зная площадь, вычислим высоту, опущенную из вершины B на сторону AD, по формуле \(BM = \frac{2S}{AD} = \frac{2 \times 84}{14} = 12\).

Аналогично рассмотрим треугольник ACD, где стороны \(AC = 15\), \(CD = 13\), \(AD = 14\). Полупериметр у этого треугольника такой же, \(p = 21\), и площадь равна площади треугольника ABD, то есть \(84\). Высота, опущенная из вершины C на сторону AD, будет равна \(CM = \frac{2 \times 84}{14} = 12\). Таким образом, высоты BM и CM равны и равны 12 см, что важно для дальнейших вычислений.

Теперь рассмотрим треугольник BCD, в котором стороны \(BC = 12\sqrt{2}\), \(BD = 13\), \(CD = 13\). Для определения угла между плоскостями BAD и CAD нужно найти угол между высотами BM и CM, которые лежат в этих плоскостях. Используем теорему косинусов в треугольнике BMC: \(BC^2 = BM^2 + CM^2 — 2 \times BM \times CM \times \cos \theta\), где \(\theta\) — искомый угол. Подставим значения: \((12\sqrt{2})^2 = 12^2 + 12^2 — 2 \times 12 \times 12 \times \cos \theta\), что даёт \(288 = 144 + 144 — 288 \cos \theta\), откуда \(288 = 288 — 288 \cos \theta\) и \(\cos \theta = 0\). Следовательно, угол \(\theta\) равен \(90^\circ\), то есть плоскости BAD и CAD перпендикулярны.