ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.41 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина стороны \(AB\) правильного треугольника \(ABC\), отрезок \(DM\) — перпендикуляр к плоскости \(ABC\). Найдите угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\), если \(AB = 2\sqrt{3}\) см, \(DM = 4\) см.

Треугольник \(ABC\) правильный, значит \(AB = BC = AC = 2 \sqrt{3}\).

Точка \(M\) — середина \(AB\), тогда \(AM = MB = \sqrt{3}\).

Отрезок \(DM\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), \(DM = 4\).

Угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) равен удвоенному углу при вершине \(M\) в треугольнике \(DMB\).

Вычисляем \(\tan \angle DMB = \frac{DM}{MB} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\).

Тогда угол между плоскостями равен \(2 \arctan \frac{5 \sqrt{3}}{12}\).

Треугольник \(ABC\) является правильным, поэтому все его стороны равны и равны \(2 \sqrt{3}\). Это значит, что \(AB = BC = AC = 2 \sqrt{3}\). Точка \(M\) — середина стороны \(AB\), следовательно, длина отрезка \(AM\) равна половине \(AB\), то есть \(AM = MB = \sqrt{3}\).

Отрезок \(DM\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), и его длина равна 4 см. Это означает, что точка \(D\) находится на высоте 4 см над плоскостью треугольника. Рассмотрим треугольник \(DMB\), в котором \(DM\) — высота, а \(MB\) — основание. Для нахождения угла между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) необходимо найти угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и проходящими через точку \(D\) и точки \(A\) и \(B\).

Угол между плоскостями равен удвоенному углу при вершине \(M\) в треугольнике \(DMB\), так как линии пересечения плоскостей с плоскостью \(ABC\) образуют этот угол. Для вычисления угла в вершине \(M\) используем тангенс: \(\tan \angle DMB = \frac{DM}{MB} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\). Следовательно, искомый угол между плоскостями равен \(2 \arctan \frac{5 \sqrt{3}}{12}\).