ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.42 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) находится на расстоянии \(3\) см от плоскости квадрата \(ABCD\) и равноудалена от его вершин. Найдите угол между плоскостями \(BMC\) и \(DMC\), если \(AB = 4\sqrt{2}\) см.

Диагональ квадрата \(BD = AB \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8\) см.

Расстояние от центра квадрата \(O\) до вершины \(C\) равно \(OC = \frac{BD}{2} = 4\) см.

Расстояние от точки \(M\) до плоскости квадрата \(MO = 3\) см.

Длина \(MC = \sqrt{MO^2 + OC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) см.

Угол между плоскостями \(BMC\) и \(DMC\) равен \(180^\circ — 2 \arctan \frac{5}{3}\).

Квадрат \(ABCD\) имеет сторону \(AB = 4\sqrt{2}\) см. Для начала вычислим длину диагонали \(BD\), которая равна стороне, умноженной на корень из двух, то есть \(BD = AB \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8\) см. Диагональ делит квадрат на два равных равнобедренных треугольника, а точка \(O\), являющаяся центром квадрата, находится на середине диагонали \(BD\). Следовательно, расстояние от центра \(O\) до вершины \(C\) равно половине диагонали, то есть \(OC = \frac{BD}{2} = 4\) см.

Точка \(M\) расположена так, что она равноудалена от всех вершин квадрата и находится на расстоянии 3 см от плоскости квадрата. Это означает, что \(M\) лежит на перпендикуляре, опущенном из центра \(O\) квадрата, и расстояние \(MO = 3\) см. Рассмотрим треугольник \(MOC\), который является прямоугольным, так как \(MO\) перпендикулярен плоскости квадрата. В этом треугольнике гипотенуза \(MC\) вычисляется по теореме Пифагора: \(MC = \sqrt{MO^2 + OC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) см.

Для нахождения угла между плоскостями \(BMC\) и \(DMC\) рассмотрим, что эти плоскости пересекаются по прямой \(MC\). Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям или, что эквивалентно, углу между векторами, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения. Используя геометрические свойства и симметрию, угол между плоскостями равен \(180^\circ — 2 \alpha\), где \(\alpha = \arctan \frac{MC}{MO} = \arctan \frac{5}{3}\). Таким образом, искомый угол равен \(180^\circ — 2 \arctan \frac{5}{3}\).