ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.43 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Гипотенуза \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(60^\circ\). Известно, что \(AC = 1\) см, \(BC = 2\) см. Найдите угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(\alpha\).

Гипотенуза \(AB\) треугольника \(ABC\) принадлежит плоскости \(\alpha\), угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(60^\circ\).

Дано \(AC = 1\), \(BC = \sqrt{2}\).

Найдем \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}\).

Угол между \(AC\) и плоскостью \(\alpha\) равен углу \(CAB\).

В треугольнике \(ABC\) \(\sin \angle CAB = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Тогда \(\angle CAB = \arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 54.7^\circ\).

Ответ: угол между \(AC\) и плоскостью \(\alpha\) равен примерно \(54.7^\circ\).

Треугольник \(ABC\) прямоугольный, где гипотенуза \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\). Из условия известно, что угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника \(ABC\) равен \(60^\circ\). Это означает, что плоскость \(\alpha\) наклонена относительно плоскости треугольника под углом \(60^\circ\), а гипотенуза \(AB\) принадлежит этой плоскости.

Длины сторон треугольника заданы: \(AC = 1\) и \(BC = \sqrt{2}\). По теореме Пифагора вычисляем гипотенузу \(AB\) как \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}\). Угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(\alpha\) совпадает с углом \(CAB\) в треугольнике, так как гипотенуза лежит в плоскости \(\alpha\), а \(AC\) — сторона треугольника.

Для нахождения угла \(CAB\) используем отношение сторон в прямоугольном треугольнике. Синус угла \(CAB\) равен отношению противолежащего катета \(BC\) к гипотенузе \(AB\), то есть \(\sin \angle CAB = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\). Найдя арксинус, получаем \(\angle CAB = \arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 54.7^\circ\). Следовательно, угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(\alpha\) равен примерно \(54.7^\circ\).