ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.44 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Катет \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) принадлежит плоскости \(\alpha\), а вершина \(A\) не принадлежит этой плоскости. Докажите, что угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) больше, чем угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\).

Катет \(BC\) лежит в плоскости \(\alpha\), значит линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\) — прямая \(BC\).

Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен углу между прямой \(AC\) (перпендикулярной \(BC\) в плоскости \(ABC\)) и плоскостью \(\alpha\).

Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) меньше, так как \(AB\) образует меньший угол с плоскостью \(\alpha\), чем \(AC\).

Следовательно, угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) больше угла между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\), то есть

угол между плоскостями \(>\) угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\).

Катет \(BC\) лежит в плоскости \(\alpha\), следовательно, прямая \(BC\) является линией пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\). Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями, но проще рассмотреть этот угол как угол между плоскостью \(\alpha\) и любой прямой, лежащей в плоскости \(ABC\) и перпендикулярной \(BC\). Поскольку треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\), то \(AC\) перпендикулярна \(BC\) и лежит в плоскости \(ABC\). Значит, угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен углу между прямой \(AC\) и плоскостью \(\alpha\).

Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) определяется как угол между \(AB\) и её ортогональной проекцией на \(\alpha\). Поскольку точка \(A\) не принадлежит плоскости \(\alpha\), проекция \(A’\) этой точки на \(\alpha\) лежит на прямой \(BC\). Таким образом, угол между \(AB\) и \(\alpha\) меньше угла между \(AC\) и \(\alpha\), так как \(AB\) ближе к плоскости \(\alpha\), чем \(AC\). Это связано с тем, что \(AB\) образует меньший угол с линией пересечения плоскостей \(BC\), чем \(AC\), который перпендикулярен \(BC\).

Итог: угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен углу между \(AC\) и \(\alpha\), который больше угла между \(AB\) и \(\alpha\). То есть угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) строго больше угла между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\). Это можно записать как неравенство: угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) \(>\) угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\).