ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.45 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ \(AC\) квадрата \(ABCD\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\). Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью квадрата.

Диагональ \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\), угол между \(AB\) и \(\alpha\) равен \(30^\circ\).

Угол между \(AB\) и диагональю \(AC\) в плоскости квадрата равен \(45^\circ\).

Угол между плоскостями \(\alpha\) и квадрата равен \(\theta\), где \(\sin \theta = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\).

Подставляем значения: \(\sin \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Отсюда \(\theta = 45^\circ\).

Ответ: угол между плоскостями равен \(45^\circ\).

Плоскость квадрата \(ABCD\) содержит стороны \(AB\) и диагональ \(AC\). Из условия известно, что диагональ \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а угол между стороной \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\). Поскольку \(AB\) принадлежит плоскости квадрата, а \(AC\) — плоскости \(\alpha\), нам нужно найти угол между двумя плоскостями, обозначим его \(\theta\).

В квадрате угол между стороной \(AB\) и диагональю \(AC\) равен \(45^\circ\), так как диагональ делит угол квадрата пополам. Рассмотрим проекцию вектора \(AB\) на плоскость \(\alpha\). Угол между \(AB\) и \(\alpha\) равен \(30^\circ\), значит длина проекции \(AB\) на \(\alpha\) равна \(AB \cos 30^\circ\). При этом, проекция вектора \(AB\) на плоскость \(\alpha\) образует угол \(45^\circ\) с диагональю \(AC\), так как \(AC\) лежит в \(\alpha\).

Для нахождения угла \(\theta\) между плоскостями \(\alpha\) и плоскостью квадрата используем соотношение, связывающее углы между сторонами и плоскостями: \(\sin \theta = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\). Здесь \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), а \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляя значения, получаем \(\sin \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Отсюда следует, что угол между плоскостями равен \(\theta = 45^\circ\). Таким образом, угол между плоскостью квадрата и плоскостью \(\alpha\) равен \(45^\circ\).