ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.46 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) рёбра \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) соответственно равны \(6\) см, \(3\sqrt{6}\) см и \(6\sqrt{3}\) см. Найдите угол между плоскостями \(AA_1D_1\) и \(AB_1DB_1\).

Даны ребра параллелепипеда \(AB = 6\), \(AD = 3\sqrt{6}\), \(AA_1 = 6\sqrt{3}\).

Угол между плоскостями равен углу между векторами \(ed\) и \(DB\).

Вычисляем синус угла: \(\sin \angle BULD = \frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Отсюда \(\angle BULD = 45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с рёбрами \(AB = 6\), \(AD = 3\sqrt{6}\), \(AA_1 = 6\sqrt{3}\). Нам нужно найти угол между плоскостями \(AA_1D_1\) и \(AB_1DB_1\). Для этого сначала определим векторы, лежащие в этих плоскостях. В плоскости \(AA_1D_1\) возьмём векторы \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{AD_1}\), где \(\overrightarrow{AA_1} = (0, 0, 6\sqrt{3})\), а \(\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = (3\sqrt{6}, 0, 6\sqrt{3})\). В плоскости \(AB_1DB_1\) возьмём векторы \(\overrightarrow{AB} = (6, 0, 0)\) и \(\overrightarrow{DB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} = (6, 0, 6\sqrt{3})\).

Для нахождения угла между плоскостями найдём углы между их нормалями, которые можно получить через векторное произведение выбранных векторов. Вектор нормали к плоскости \(AA_1D_1\) равен \(\mathbf{n_1} = \overrightarrow{AA_1} \times \overrightarrow{AD_1}\). Вычислим его: \(\mathbf{n_1} = (0, 18\sqrt{18}, 0)\). Аналогично, нормаль к плоскости \(AB_1DB_1\) равна \(\mathbf{n_2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{DB_1} = (0, -36\sqrt{3}, 0)\).

Угол между плоскостями равен углу между векторами \(\mathbf{n_1}\) и \(\mathbf{n_2}\). Найдём косинус этого угла по формуле \(\cos \theta = \frac{|\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}|}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}\). Скалярное произведение равно \(|\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}| = 648 \sqrt{54}\), а длины векторов \( |\mathbf{n_1}| = 18\sqrt{18} \) и \( |\mathbf{n_2}| = 36\sqrt{3}\). Подставляя, получаем \(\cos \theta = 1\), что означает параллельность нормалей и плоскостей.

Однако, для более точного определения угла между плоскостями рассмотрим угол между векторами \(ed\) и \(DB\), где \(ed = 3\sqrt{6}\), \(DB = 6\sqrt{3}\). Тогда \(\sin \angle BULD = \frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), следовательно, \(\angle BULD = 45^\circ\). Это и есть искомый угол между плоскостями \(AA_1D_1\) и \(AB_1DB_1\).

Ответ: \(45^\circ\).