ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.47 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Ребро \(DC\) тетраэдра \(DABC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\). Известно, что \(DC = 1\) см, \(CA = CB = \sqrt{2}\) см и \(\angle ACB = 90^\circ\). Найдите угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\).

Ребро \(DC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), значит \(DC \perp AC\) и \(DC \perp BC\).

В плоскости \(ABC\) треугольник \(ACB\) прямоугольный с гипотенузой \(AB\), где \(CA = CB = \sqrt{2}\), а \(\angle ACB = 90^\circ\).

Угол между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) равен углу между прямыми \(BD\) и \(CD\).

В треугольнике \(BCD\) по теореме Пифагора \(BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}\).

Косинус угла между \(BD\) и \(CD\) равен \(\frac{1}{2}\), откуда угол равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\)

Ребро \(DC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), следовательно, оно перпендикулярно всем прямым, лежащим в этой плоскости, в том числе и \(AC\) и \(BC\). Это значит, что угол между \(DC\) и любыми векторами в плоскости \(ABC\) равен \(90^\circ\). Длина \(DC\) равна 1 см, а в плоскости \(ABC\) треугольник \(ACB\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(C\), где стороны \(CA\) и \(CB\) равны \(\sqrt{2}\) см.

Для нахождения угла между плоскостями \(ABD\) и \(ACD\) нужно рассмотреть угол между их общим ребром \(AD\) и соответствующими прямыми, лежащими в этих плоскостях. В данном случае угол между плоскостями равен углу между прямыми \(BD\) и \(CD\), так как они лежат в плоскостях \(ABD\) и \(ACD\) соответственно и исходят из точки \(D\). Рассмотрим треугольник \(BCD\), где \(BC = \sqrt{2}\), \(CD = 1\), а угол при \(C\) равен \(90^\circ\).

Применяя теорему Пифагора к треугольнику \(BCD\), находим длину \(BD\) по формуле \(BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}\). Теперь для вычисления угла между прямыми \(BD\) и \(CD\) используем формулу косинуса угла: \(\cos \theta = \frac{\vec{BD} \cdot \vec{CD}}{|\vec{BD}||\vec{CD}|}\). Поскольку \(DC\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), угол между \(BD\) и \(DC\) равен углу между \(BD\) и перпендикуляром к плоскости, что даёт \(\cos \theta = \frac{1}{2}\). Отсюда угол \(\theta = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\)