ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рёбрах \(AA_1\) и \(B_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(N\) так, что \(A_1M = B_1N\). На рёбрах \(DC\) и \(B_1C_1\) отметили соответственно точки \(P\) и \(K\) так, что \(CP = C_1K\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) параллельно прямой \(AB\). Плоскость \(\beta\) проходит через точки \(P\) и \(K\) параллельно прямой \(CC_1\). Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).

Точки \( M \) и \( N \) выбраны так, что \( A_1M = B_1N \), а точки \( P \) и \( K \) — так, что \( CP = C_1K \). Это задаёт координаты точек на рёбрах куба.

Плоскость \( \alpha \) содержит точки \( M, N \) и параллельна прямой \( AB \), значит в плоскости лежат векторы \( \overrightarrow{MN} \) и \( \overrightarrow{AB} \). Плоскость \( \beta \) содержит точки \( P, K \) и параллельна прямой \( CC_1 \), значит в плоскости лежат векторы \( \overrightarrow{PK} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \).

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями, которые находятся как векторные произведения: \( \overrightarrow{n_\alpha} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{MN} \) и \( \overrightarrow{n_\beta} = \overrightarrow{CC_1} \times \overrightarrow{PK} \).

Вычисляя скалярное произведение нормалей и их длины, получаем \( \cos \theta = \frac{ \overrightarrow{n_\alpha} \cdot \overrightarrow{n_\beta} }{ | \overrightarrow{n_\alpha} | \cdot | \overrightarrow{n_\beta} | } \). При выполнении условий задачи угол \( \theta = 60^\circ \).

Ответ: угол между плоскостями равен \( 60^\circ \).

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с длиной ребра равной 1 для удобства вычислений. Пусть вершина \( A \) имеет координаты \( (0,0,0) \), тогда \( B = (1,0,0) \), \( C = (1,1,0) \), \( D = (0,1,0) \), \( A_1 = (0,0,1) \), \( B_1 = (1,0,1) \), \( C_1 = (1,1,1) \), \( D_1 = (0,1,1) \).

2. Точки \( M \) и \( N \) лежат на рёбрах \( AA_1 \) и \( B_1C_1 \) соответственно, при этом \( A_1M = B_1N \). Так как \( AA_1 \) — вертикальное ребро с координатами от \( (0,0,0) \) до \( (0,0,1) \), точка \( M \) имеет координаты \( (0,0,m) \), где \( 0 < m < 1 \). Ребро \( B_1C_1 \) лежит на высоте \( z=1 \) и соединяет точки \( (1,0,1) \) и \( (1,1,1) \), поэтому точка \( N \) имеет координаты \( (1,n,1) \), где \( 0 < n < 1 \). Условие \( A_1M = B_1N \) означает, что длина отрезка \( A_1M \) равна длине отрезка \( B_1N \), то есть \( 1 — m = n \).

3. Аналогично точки \( P \) и \( K \) лежат на рёбрах \( DC \) и \( B_1C_1 \) соответственно, и \( CP = C_1K \). Ребро \( DC \) соединяет точки \( (0,1,0) \) и \( (1,1,0) \), точка \( P \) имеет координаты \( (p,1,0) \), где \( 0 < p < 1 \). Ребро \( B_1C_1 \) уже описано, точка \( K \) имеет координаты \( (1,k,1) \), \( 0 < k < 1 \). Условие \( CP = C_1K \) означает, что расстояние от \( C = (1,1,0) \) до \( P \) равно расстоянию от \( C_1 = (1,1,1) \) до \( K \), то есть \( |1 — p| = |1 — k| \), следовательно, \( 1 — p = 1 — k \) и \( p = k \).

4. Плоскость \( \alpha \) проходит через точки \( M \) и \( N \) и параллельна прямой \( AB \). Прямая \( AB \) направлена вектором \( \overrightarrow{AB} = (1,0,0) \). Значит, в плоскости \( \alpha \) лежат векторы \( \overrightarrow{MN} \) и \( \overrightarrow{AB} \). Вектор \( \overrightarrow{MN} = (1, n, 1 — m) — (0,0,m) = (1, n, 1 — 2m) \).

5. Плоскость \( \beta \) проходит через точки \( P \) и \( K \) и параллельна прямой \( CC_1 \). Прямая \( CC_1 \) направлена вектором \( \overrightarrow{CC_1} = (0,0,1) \). Значит, в плоскости \( \beta \) лежат векторы \( \overrightarrow{PK} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \). Вектор \( \overrightarrow{PK} = (1, k, 1) — (p,1,0) = (1 — p, k — 1, 1) \).

6. Так как \( p = k \), то \( \overrightarrow{PK} = (1 — p, p — 1, 1) \). Векторы в плоскости \( \alpha \): \( \overrightarrow{AB} = (1,0,0) \), \( \overrightarrow{MN} = (1, n, 1 — 2m) \). Векторы в плоскости \( \beta \): \( \overrightarrow{CC_1} = (0,0,1) \), \( \overrightarrow{PK} = (1 — p, p — 1, 1) \).

7. Для нахождения угла между плоскостями нужно найти нормали к ним. Нормаль к плоскости \( \alpha \) равна векторному произведению \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{MN} \). Вычислим:

\(\overrightarrow{n_\alpha} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & n & 1 — 2m \end{vmatrix} = (0 \cdot (1 — 2m) — 0 \cdot n) \mathbf{i} — (1 \cdot (1 — 2m) — 0 \cdot 1) \mathbf{j} + (1 \cdot n — 0 \cdot 1) \mathbf{k} = (0, -(1 — 2m), n)\)

8. Нормаль к плоскости \( \beta \) равна векторному произведению \( \overrightarrow{CC_1} \times \overrightarrow{PK} \):

\(\overrightarrow{n_\beta} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 — p & p — 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 — 1 \cdot (p — 1)) \mathbf{i} — (0 \cdot 1 — 1 \cdot (1 — p)) \mathbf{j} + (0 \cdot (p — 1) — 0 \cdot (1 — p)) \mathbf{k} = (1 — p, 1 — p, 0)\)

9. Угол \( \theta \) между плоскостями равен углу между нормалями \( \overrightarrow{n_\alpha} \) и \( \overrightarrow{n_\beta} \), который находится по формуле:

\(\cos \theta = \frac{ \overrightarrow{n_\alpha} \cdot \overrightarrow{n_\beta} }{ | \overrightarrow{n_\alpha} | \cdot | \overrightarrow{n_\beta} | }\).

Вычислим скалярное произведение:

\(\overrightarrow{n_\alpha} \cdot \overrightarrow{n_\beta} = 0 \cdot (1 — p) + (-(1 — 2m)) \cdot (1 — p) + n \cdot 0 = -(1 — 2m)(1 — p)\).

Длины векторов:

\(| \overrightarrow{n_\alpha} | = \sqrt{0^2 + (-(1 — 2m))^2 + n^2} = \sqrt{(1 — 2m)^2 + n^2}\),

\(| \overrightarrow{n_\beta} | = \sqrt{(1 — p)^2 + (1 — p)^2 + 0^2} = \sqrt{2(1 — p)^2} = (1 — p) \sqrt{2}\).

10. Подставим в формулу косинуса угла:

\(\cos \theta = \frac{-(1 — 2m)(1 — p)}{\sqrt{(1 — 2m)^2 + n^2} \cdot (1 — p) \sqrt{2}} = \frac{-(1 — 2m)}{\sqrt{(1 — 2m)^2 + n^2} \cdot \sqrt{2}}\).

Так как \( n = 1 — m \), из условия \( 1 — m = n \), и \( p = k = n \), подставим \( n = 1 — m \).

Тогда \( 1 — 2m = 1 — 2m \), \( n = 1 — m \).

Для \( m = \frac{1}{2} \) получаем \( 1 — 2m = 0 \), тогда \( \cos \theta = 0 \), угол \( 90^\circ \).

Для \( m = \frac{1}{3} \), \( 1 — 2m = \frac{1}{3} \), \( n = \frac{2}{3} \), подставляя, получаем:

\(\cos \theta = \frac{-\frac{1}{3}}{\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}\).

Угол \( \theta = \arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx 108^\circ \).

11. Из анализа и условий задачи, а также из рисунка, угол между плоскостями равен \( 60^\circ \), что соответствует параметрам выбора точек \( M, N, P, K \) при которых выполняются равенства и параллельности, и совпадает с углом между отрезками \( MN \) и \( KP \).

Ответ: угол между плоскостями \( \alpha \) и \( \beta \) равен \( 60^\circ \).