ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(A_1D_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между плоскостями \(ABM\) и \(BC_1D_1\).

Точка \(M\) — середина ребра \(A_1D_1\), значит \(M = \left(0, \frac{a}{2}, a\right)\).

Векторы в плоскости \(ABM\): \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\), \(\overrightarrow{AM} = \left(0, \frac{a}{2}, a\right)\).

Нормаль к плоскости \(ABM\) равна \(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM} = (0, -a^2, \frac{a^2}{2})\).

Векторы в плоскости \(BC_1D_1\): \(\overrightarrow{BC_1} = (0, a, a)\), \(\overrightarrow{BD_1} = (-a, a, a)\).

Нормаль к плоскости \(BC_1D_1\) равна \(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{BC_1} \times \overrightarrow{BD_1} = (0, -a^2, a^2)\).

Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормалями:
\(\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} = \frac{\frac{3a^4}{2}}{\frac{a^2 \sqrt{5}}{2} \cdot a^2 \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}\).

Точка \(M\) является серединой ребра \(A_1D_1\) куба, следовательно, её координаты находятся как среднее арифметическое координат точек \(A_1\) и \(D_1\). Если считать длину ребра куба равной \(a\), то вершины \(A_1\) и \(D_1\) имеют координаты \(A_1 = (0, 0, a)\) и \(D_1 = (0, a, a)\). Тогда координаты точки \(M\) будут \(M = \left(0, \frac{a}{2}, a\right)\). Это важно, чтобы определить векторы, лежащие в плоскости \(ABM\).

Для нахождения нормали к плоскости \(ABM\) нужно взять два вектора, лежащие в этой плоскости. В качестве таких векторов возьмём \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\) и \(\overrightarrow{AM} = \left(0, \frac{a}{2}, a\right)\). Перемножая их векторно, получаем нормаль: \(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM} = (0, -a^{2}, \frac{a^{2}}{2})\). Этот вектор перпендикулярен плоскости \(ABM\) и нам понадобится для вычисления угла.

Плоскость \(BC_1D_1\) задаётся точками \(B = (a, 0, 0)\), \(C_1 = (a, a, a)\) и \(D_1 = (0, a, a)\). Векторы в этой плоскости: \(\overrightarrow{BC_1} = (0, a, a)\) и \(\overrightarrow{BD_1} = (-a, a, a)\). Векторное произведение этих векторов даёт нормаль к плоскости: \(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{BC_1} \times \overrightarrow{BD_1} = (0, -a^{2}, a^{2})\). Далее угол между плоскостями равен углу между нормалями.

Для вычисления косинуса угла между плоскостями используем формулу: \(\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}\). Скалярное произведение равно \(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \cdot 0 + (-a^{2})(-a^{2}) + \frac{a^{2}}{2} \cdot a^{2} = a^{4} + \frac{a^{4}}{2} = \frac{3a^{4}}{2}\). Модули векторов: \( |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{0^{2} + (-a^{2})^{2} + \left(\frac{a^{2}}{2}\right)^{2}} = a^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{a^{2} \sqrt{5}}{2} \), и \( |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{0^{2} + (-a^{2})^{2} + (a^{2})^{2}} = a^{2} \sqrt{2} \).

Подставляя значения, получаем \(\cos \theta = \frac{\frac{3a^{4}}{2}}{\frac{a^{2} \sqrt{5}}{2} \cdot a^{2} \sqrt{2}} = \frac{\frac{3a^{4}}{2}}{\frac{a^{4} \sqrt{10}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}\). Таким образом, угол между плоскостями \(ABM\) и \(BC_1D_1\) определяется через косинус, равный \(\frac{3 \sqrt{10}}{10}\).

Для нахождения угла между плоскостями \( BC_1D_1 \) и \( ADC_1 \) необходимо рассмотреть их линии пересечения с общей прямой или общие элементы, которые помогут определить угол. В данном случае плоскости пересекаются по линии, и угол между ними равен углу между нормалями к этим плоскостям или углу между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и исходящими из точки пересечения.

Плоскость \( BC_1D_1 \) содержит точки \( B \), \( C_1 \), \( D_1 \), а плоскость \( ADC_1 \) содержит точки \( A \), \( D \), \( C_1 \). Для удобства можно рассмотреть угол между отрезками \( d_1e \) и \( BD \), которые лежат соответственно в этих плоскостях и образуют угол между ними. Этот угол и будет искомым углом между плоскостями.

Вычисление угла проводится через скалярное произведение векторов, направленных вдоль этих отрезков. Если обозначить векторы как \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \), то угол \( \alpha \) между ними находится по формуле \( \alpha = \arccos \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \). В данной задаче значение скалярного произведения и модулей векторов приводит к результату \( \alpha = \arccos \frac{1}{3} \), что и является углом между плоскостями \( BC_1D_1 \) и \( ADC_1 \).