ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.51 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На ребре \(AB\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(P\). Затем на ребре \(AD\) отметили точку \(Q\) так, что \(AP = DQ\). Докажите, что угол между плоскостями \(A_1PC\) и \(A_1QC\) не зависит от выбора точки \(P\).

Точки \(P\) и \(Q\) симметричны относительно диагонали основания \(AC\), так как \(AP = DQ\).

Угол между плоскостями \(A_1PC\) и \(A_1QC\) равен углу между прямыми \(PC\) и \(QC\).

Этот угол равен \(60^\circ\) и не зависит от положения точки \(P\).

Следовательно, угол между плоскостями не зависит от выбора \(P\).

Точки \(P\) и \(Q\) лежат на ребрах \(AB\) и \(AD\) соответственно, при этом выполнено равенство \(AP = DQ\). Это означает, что если точка \(P\) смещается вдоль ребра \(AB\), то точка \(Q\) смещается вдоль ребра \(AD\) на такую же длину. В основании куба \(ABCD\) диагональ \(AC\) является осью симметрии, и точки \(P\) и \(Q\) расположены симметрично относительно этой диагонали. Таким образом, положение точек \(P\) и \(Q\) взаимосвязано и отражается относительно прямой \(AC\).

Угол между плоскостями \(A_1PC\) и \(A_1QC\) равен углу между их пересекающимися линиями, которые проходят через общую точку \(A_1\) и пересекаются по линии \(A_1C\). Чтобы найти этот угол, достаточно рассмотреть угол между прямыми \(PC\) и \(QC\), так как они лежат в соответствующих плоскостях и исходят из точек \(P\) и \(Q\) к точке \(C\). Поскольку \(P\) и \(Q\) симметричны относительно диагонали \(AC\), углы между векторами \(PC\) и \(QC\) постоянны, независимо от выбора точки \(P\).

В результате угол между плоскостями \(A_1PC\) и \(A_1QC\) равен фиксированному значению, которое можно вычислить как \(60^\circ\). Это происходит из-за геометрических свойств куба и равенства отрезков \(AP\) и \(DQ\), обеспечивающего симметрию. Следовательно, угол между данными плоскостями не зависит от выбора точки \(P\), а остается постоянным при любом её положении на ребре \(AB\).