ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.52 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\), \(K\) и \(E\) — середины соответственно рёбер \(A_1B_1\), \(BC\) и \(CD\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между плоскостями \(AME\) и \(KME\).

Точки \(M\), \(K\), \(E\) — середины рёбер куба с координатами \(M( \frac{1}{2}, 0, 1)\), \(K(1, \frac{1}{2}, 0)\), \(E(\frac{1}{2}, 1, 0)\).

Векторы в плоскости \(AME\): \(AM = ( \frac{1}{2}, 0, 1)\), \(AE = ( \frac{1}{2}, 1, 0)\).

Векторы в плоскости \(KME\): \(KM = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)\), \(KE = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)\).

Нормали к плоскостям: \(\vec{n_1} = AM \times AE = (-1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\), \(\vec{n_2} = KM \times KE = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\).

Скалярное произведение \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\), значит угол между плоскостями равен \(90^\circ\).

Ответ: \(90^\circ\).

Рассмотрим куб с вершинами, заданными в системе координат: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(C_1(1,1,1)\), \(D_1(0,1,1)\). Точки \(M\), \(K\), \(E\) являются серединами рёбер \(A_1B_1\), \(BC\), \(CD\) соответственно, поэтому их координаты вычисляются как средние арифметические координат концов соответствующих рёбер. Таким образом, \(M\) находится в точке \( ( \frac{1}{2}, 0, 1 )\), \(K\) — в точке \( (1, \frac{1}{2}, 0 )\), а \(E\) — в точке \( ( \frac{1}{2}, 1, 0 )\).

Для определения угла между плоскостями \(AME\) и \(KME\) нужно найти нормальные векторы к этим плоскостям. Плоскость \(AME\) содержит точки \(A\), \(M\), \(E\), поэтому векторы \(AM\) и \(AE\) лежат в этой плоскости и равны соответственно \( ( \frac{1}{2}, 0, 1 )\) и \( ( \frac{1}{2}, 1, 0 )\). Плоскость \(KME\) содержит точки \(K\), \(M\), \(E\), и векторы \(KM\) и \(KE\), лежащие в ней, равны \( ( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 )\) и \( ( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 )\) соответственно.

Нормальные векторы к плоскостям находятся как векторные произведения соответствующих пар векторов: \(\vec{n_1} = AM \times AE = ( -1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} )\) и \(\vec{n_2} = KM \times KE = ( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} )\). Для нахождения угла между плоскостями вычисляем косинус угла между нормалями по формуле \( \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \). Скалярное произведение \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}\) равно \( (-1)(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} — \frac{1}{4} — \frac{1}{4} = 0 \), что означает, что угол между нормалями равен \(90^\circ\), а значит и угол между плоскостями \(AME\) и \(KME\) равен \(90^\circ\).

Ответ: \(90^\circ\).