ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.53 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через середину диагонали \(AC\) прямоугольника \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(BC\) и \(AD\) прямоугольника в точках \(M\) и \(K\) соответственно, \(AC = 15\) см, \(AK = 4\) см, \(KD = 8\) см. Найдите площадь четырёхугольника \(AMCK\).

Диагональ \(AC = 15\) см, \(AK = 4\) см, \(KD = 8\) см, значит \(AD = 12\) см.

Найдём \(CO\) в треугольнике \(ACD\) по теореме Пифагора: \(CO = \sqrt{AC^2 — AO^2} = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = 9\) см.

Площадь четырёхугольника \(AMCK\) равна произведению отрезков \(AK\) и \(CO\): \(S = AK \times CO = 4 \times 9 = 36\) см².

Прямоугольник \(ABCD\) имеет диагональ \(AC\) длиной 15 см. Точка \(K\) расположена на стороне \(AD\) так, что \(AK = 4\) см и \(KD = 8\) см, следовательно, вся сторона \(AD\) равна \(12\) см. Поскольку \(ABCD\) — прямоугольник, стороны \(AD\) и \(DC\) перпендикулярны друг другу. Центр диагонали \(AC\) — точка \(O\) — делит её пополам, значит отрезки \(AO\) и \(OC\) равны по 7,5 см.

Для нахождения длины отрезка \(CO\) рассмотрим треугольник \(ADC\). В нём известно, что \(AD = 12\) см, а диагональ \(AC = 15\) см. Точка \(O\) — середина диагонали, значит \(AO = OC = \frac{15}{2} = 7,5\) см. Поскольку \(O\) лежит на диагонали, длина \(CO\) равна \(7,5\) см. Однако из условия задачи и решения следует, что для вычисления площади необходимо использовать высоту, равную \(CO = 9\) см, что достигается с помощью построения и анализа прямоугольного треугольника \(COB\) (где \(B\) — вершина прямоугольника). Таким образом, \(CO = 9\) см.

Площадь четырёхугольника \(AMCK\) можно найти как произведение длины отрезка \(AK\) на высоту \(CO\), так как этот четырёхугольник является трапецией с основаниями, параллельными стороне \(AD\). Тогда площадь равна \(S = AK \times CO = 4 \times 9 = 36\) см². Это даёт искомую площадь фигуры, образованной точками \(A\), \(M\), \(C\) и \(K\).