ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две стороны треугольника равны \(15\) см и \(25\) см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — \(16\) см. Найдите третью сторону треугольника.

Даны стороны \(AB=15\), \(BC=25\) и медиана \(BM=16\).

По формуле медианы: \(BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2BC^2 — AC^2}\).

Подставляем: \(16 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 25^2 — AC^2}\).

Вычисляем: \(16 = \frac{1}{2} \sqrt{450 + 1250 — AC^2}\).

Умножаем на 2: \(32 = \sqrt{1700 — AC^2}\).

Возводим в квадрат: \(1024 = 1700 — AC^2\).

Находим \(AC^2 = 1700 — 1024 = 676\).

Следовательно, \(AC = \sqrt{676} = 26\).

В треугольнике дана медиана \(BM\), проведённая к стороне \(AC\). Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, то есть точка \(M\) делит сторону \(AC\) пополам. Известно, что длина медианы \(BM\) равна 16 см, а стороны \(AB\) и \(BC\) соответственно 15 см и 25 см. Для нахождения длины \(AC\) используется формула медианы, которая выражает её длину через длины сторон треугольника: \(BM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^{2} + 2BC^{2} — AC^{2}}\).

Подставляем известные значения в формулу: \(16 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 15^{2} + 2 \cdot 25^{2} — AC^{2}}\). Сначала вычислим квадраты: \(15^{2} = 225\) и \(25^{2} = 625\). После подстановки получаем: \(16 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 225 + 2 \cdot 625 — AC^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{450 + 1250 — AC^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{1700 — AC^{2}}\).

Для удобства избавимся от дроби, умножив обе части равенства на 2: \(32 = \sqrt{1700 — AC^{2}}\). Теперь возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(32^{2} = 1700 — AC^{2}\), то есть \(1024 = 1700 — AC^{2}\). Отсюда находим, что \(AC^{2} = 1700 — 1024 = 676\). Наконец, извлекаем квадратный корень: \(AC = \sqrt{676} = 26\). Таким образом, длина стороны \(AC\) равна 26 см.