ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(B\) лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на \(\sqrt{2}\) см и \(\sqrt{3}\) см, а от ребра — на \(2\) см. Найдите данный двугранный угол.

Расстояние от точки B до ребра угла равно 2, до первой грани \( \sqrt{2} \), до второй грани \( \sqrt{3} \).

В треугольнике с катетами \( AD = \sqrt{2} \) и гипотенузой \( HB = 2 \) находим угол при ребре: \( \sin \angle AHB = \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит \( \angle AHB = 45^\circ \).

В треугольнике с катетами \( BC = \sqrt{3} \) и гипотенузой \( HB = 2 \) имеем \( \sin \angle BHC = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( \angle BHC = 60^\circ \).

Двугранный угол равен сумме углов при ребре: \( \angle AHE = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ \).

Точка B находится внутри двугранного угла, и нам известны расстояния от неё до двух граней и до ребра этого угла. Расстояние от точки B до первой грани равно \( \sqrt{2} \) см, до второй грани — \( \sqrt{3} \) см, а расстояние от точки B до ребра угла составляет 2 см. Эти расстояния представляют собой длины перпендикуляров, опущенных из точки B на соответствующие плоскости и ребро. Для определения величины двугранного угла необходимо найти углы между ребром и перпендикулярами к граням, а затем сложить их.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром, перпендикуляром к первой грани и отрезком от точки B до ребра. В этом треугольнике гипотенуза равна 2 см (расстояние от B до ребра), а катет — \( \sqrt{2} \) см (расстояние от B до первой грани). По определению синуса угла при ребре имеем \( \sin \angle AHB = \frac{AD}{HB} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Из таблицы значений синусов или используя обратную функцию синуса, находим, что \( \angle AHB = 45^\circ \).

Аналогично рассмотрим второй треугольник с гипотенузой 2 см и катетом \( \sqrt{3} \) см, который соответствует расстоянию от точки B до второй грани. Снова применяем определение синуса: \( \sin \angle BHC = \frac{BC}{HB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Отсюда следует, что \( \angle BHC = 60^\circ \). Поскольку двугранный угол равен сумме этих двух углов, получаем \( \angle AHE = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ \). Таким образом, величина двугранного угла равна 105 градусов.