ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 14.18).

1) Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям \(ABC\) и \(AB_1C_1\):

a) \(\angle A_1AB\); б) \(\angle A_1AB_1\); в) \(\angle B_1DA\); г) \(\angle B_1AB\); д) \(\angle B_1DB\).

2) Найдите величину указанного двугранного угла

Линейный угол двугранного угла между плоскостями \(ABC\) и \(AB_1C_1\) — это угол \(\angle B_1AB\).

Для вычисления величины угла используем отношение катетов в прямоугольном треугольнике: \(\tan \angle B_1AB = \frac{BB_1}{AB}\).

Так как \(BB_1 = 1\), а \(AB = \frac{1}{\sqrt{2}}\), то \(\tan \angle B_1AB = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}\).

Ответ: \(\tan \angle B_1AB = \sqrt{2}\).

Двугранный угол образован двумя плоскостями, в данном случае \(ABC\) и \(AB_1C_1\), которые пересекаются по ребру \(AB\). Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными ребру пересечения. В плоскости \(ABC\) такой прямой будет \(AB\), а в плоскости \(AB_1C_1\) — \(AB_1\). Угол между этими двумя прямыми и есть линейный угол двугранного угла, то есть \(\angle B_1AB\).

Для вычисления величины этого угла рассмотрим треугольник \(ABB_1\). В кубе ребро \(AB\) лежит в основании и имеет длину \(AB = \frac{1}{\sqrt{2}}\), так как основание — квадрат со стороной 1, и \(AB\) — диагональ его стороны. Ребро \(BB_1\) — вертикальное ребро куба, перпендикулярное основанию, и его длина равна 1. В этом прямоугольном треугольнике угол при вершине \(A\) между ребрами \(AB\) и \(AB_1\) равен углу двугранного угла.

Вычислим тангенс этого угла как отношение противолежащего катета \(BB_1\) к прилежащему \(AB\): \(\tan \angle B_1AB = \frac{BB_1}{AB} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}\). Таким образом, величина двугранного угла выражается через арктангенс: \(\angle B_1AB = \arctan \sqrt{2}\).