ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(AD\) — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника \(ABC\) (рис. 14.19), точка \(E\) — середина стороны \(BC\). Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям \(ABC\) и \(BCD\):

1) \(\angle ABD\); 2) \(\angle AED\); 3) \(\angle BAD\); 4) \(\angle ACD\).

Отрезок \(AD\) перпендикулярен плоскости правильного треугольника \(ABC\), значит \(AD\) перпендикулярен любым прямым, лежащим в этой плоскости.

Точка \(E\) — середина стороны \(BC\), поэтому \(E\) принадлежит плоскости \(ABC\) и одновременно лежит на ребре \(BC\), которое является общим ребром для плоскостей \(ABC\) и \(BCD\).

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя прямыми, исходящими из точки \(E\), лежащими в плоскостях \(ABC\) и \(BCD\) соответственно. В плоскости \(ABC\) через точку \(E\) проходит прямая \(AE\), а в плоскости \(BCD\) через точку \(E\) — прямая \(ED\).

Следовательно, линейный угол двугранного угла равен углу \( \angle AED \).

Отрезок \(AD\) перпендикулярен плоскости треугольника \(ABC\), что означает, что он образует прямой угол с любой прямой, лежащей в этой плоскости. Это ключевой момент, так как перпендикулярность отрезка к плоскости позволяет однозначно определить направление, перпендикулярное всей плоскости. В частности, это означает, что угол между \(AD\) и любой прямой в плоскости \(ABC\) равен 90 градусам, что важно для построения и понимания взаимного расположения элементов фигуры.

Точка \(E\) — середина стороны \(BC\), следовательно, она лежит на ребре \(BC\), которое является общим ребром двух плоскостей: \(ABC\) и \(BCD\). Поскольку \(E\) принадлежит обеим плоскостям, она служит точкой пересечения для прямых, которые мы рассматриваем в каждой из плоскостей, чтобы определить линейный угол двугранного угла. Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя прямыми, исходящими из точки \(E\), каждая из которых лежит в одной из плоскостей, образующих двугранный угол.

В плоскости \(ABC\) через точку \(E\) проходит прямая \(AE\), которая соединяет вершину \(A\) с серединой стороны \(BC\). В плоскости \(BCD\) через точку \(E\) проходит прямая \(ED\), соединяющая точку \(E\) с вершиной \(D\). Угол между этими двумя прямыми \(AE\) и \(ED\), исходящими из точки \(E\), и является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями \(ABC\) и \(BCD\). Таким образом, искомый угол — это \( \angle AED \).