ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ABC\) (рис. 15.15). Докажите, что если \(MA = MC\) и \(MB = MD\), то плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны.

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), значит \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

Так как \(MA = MC\) и \(MB = MD\), точка \(M\) равноудалена от пар вершин \(A, C\) и \(B, D\).

Отрезок \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\) и является средней линией треугольника \(BMD\).

Из равенств следует, что \(BC \perp\) плоскости \(BMD\).

Следовательно, плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны.

Параллелограмм \(ABCD\) обладает свойством, что его диагонали пересекаются в точке \(O\) и делятся пополам, то есть \(AO = OC\) и \(BO = OD\). Это означает, что точка \(O\) является серединой отрезков \(AC\) и \(BD\). Такое свойство важно для симметрии и равенства расстояний между точками, расположенными относительно параллелограмма.

Дано, что точка \(M\) вне плоскости \(ABC\), и при этом выполнены равенства \(MA = MC\) и \(MB = MD\). Это означает, что точка \(M\) равноудалена от пар вершин \(A\) и \(C\), а также от \(B\) и \(D\). Следовательно, точка \(M\) симметрична относительно середины диагоналей параллелограмма. Такое положение точки \(M\) определяет особое расположение в пространстве, при котором линии, соединяющие \(M\) с вершинами параллелограмма, образуют равные отрезки.

Отрезок \(BC\) принадлежит плоскости \(ABC\) и является общей для треугольника \(BMD\), поскольку вершины \(B\) и \(D\) связаны с точкой \(M\). Из равенств расстояний и свойств параллелограмма следует, что отрезок \(BC\) перпендикулярен плоскости \(BMD\). Это значит, что угол между плоскостью \(ABC\), в которой лежит \(BC\), и плоскостью \(BMD\), в которой лежит \(M\), равен 90 градусам. Таким образом, плоскости \(ABC\) и \(BMD\) взаимно перпендикулярны.