ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали ромба \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), отрезок \(MO\) перпендикуляр к плоскости \(ABC\). Докажите, что плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны.

Диагонали ромба \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны, то есть \(AC \perp BD\).

Точка \(O\) — середина диагоналей, а отрезок \(MO\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), значит \(MO \perp\) любым векторам в плоскости \(ABC\).

Векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BO}\) лежат в плоскости \(ABC\), следовательно \(MO \perp \overrightarrow{BC}\) и \(MO \perp \overrightarrow{BO}\).

Плоскость \(BMD\) содержит векторы \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OM}\) и \(\overrightarrow{BD}\).

Так как \(MO \perp \overrightarrow{BO}\) и \(MO \perp \overrightarrow{BD}\), то \(MO\) перпендикулярен плоскости \(BMD\).

Следовательно, плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны.

Ромб \(ABCD\) обладает свойством, что его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и при этом перпендикулярны друг другу, то есть \(AC \perp BD\). Точка \(O\) является серединой обеих диагоналей, значит \(O\) делит \(AC\) и \(BD\) пополам. Это важное свойство, потому что оно задаёт взаимное расположение векторов \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{OD}\) в плоскости ромба.

Отрезок \(MO\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), что означает, что вектор \(\overrightarrow{MO}\) перпендикулярен любым векторам, лежащим в плоскости \(ABC\). В частности, это касается векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), которые определяют плоскость \(ABC\). Из этого следует, что \(\overrightarrow{MO} \perp \overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{MO} \perp \overrightarrow{BC}\). Поскольку \(O\) — середина диагоналей, векторы \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) также лежат в плоскости \(ABC\), значит \(\overrightarrow{MO} \perp \overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{MO} \perp \overrightarrow{BD}\).

Плоскость \(BMD\) образована точками \(B\), \(M\) и \(D\), и в ней лежат векторы \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{BD}\). Вектор \(\overrightarrow{BM}\) можно представить как сумму \(\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OM}\), где \(\overrightarrow{OM}\) коллинеарен \(\overrightarrow{MO}\). Так как \(\overrightarrow{MO} \perp \overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{MO} \perp \overrightarrow{BD}\), то \(\overrightarrow{MO}\) перпендикулярен обоим векторам, лежащим в плоскости \(BMD\). Следовательно, \(\overrightarrow{MO}\) является нормалью к плоскости \(BMD\), а значит плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны.