ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через середины рёбер \(AB\) и \(BC\) и перпендикулярной плоскости \(ABC\).

Пусть \( M \) и \( N \) — середины рёбер \( AB \) и \( BC \) соответственно. Плоскость, проходящая через \( M \) и \( N \) и перпендикулярная плоскости \( ABC \), вертикальна.

Эта плоскость пересекает верхнее основание параллелепипеда в точках \( M_1 \) и \( N_1 \) — серединах рёбер \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \).

Сечение — четырёхугольник \( M N N_1 M_1 \).

Пусть \( M \) — середина ребра \( AB \), тогда координаты точки \( M \) находятся как среднее арифметическое координат точек \( A \) и \( B \). Аналогично, точка \( N \) — середина ребра \( BC \), и её координаты вычисляются как среднее арифметическое координат точек \( B \) и \( C \). Эти точки лежат на основании параллелепипеда, которое определено плоскостью \( ABC \).

Плоскость, в которой нужно построить сечение, проходит через точки \( M \) и \( N \) и перпендикулярна плоскости \( ABC \). Плоскость \( ABC \) является основанием параллелепипеда, поэтому её нормаль направлена вертикально. Следовательно, плоскость сечения, перпендикулярная \( ABC \), должна быть вертикальной и содержать прямую, проходящую через \( M \) и \( N \). Это значит, что сечение будет вертикальным срезом параллелепипеда, проходящим через середины рёбер \( AB \) и \( BC \).

Для завершения построения сечения необходимо найти точки пересечения этой плоскости с верхним основанием параллелепипеда \( A_1B_1C_1D_1 \). Поскольку плоскость вертикальна и проходит через \( M \) и \( N \), её пересечения с верхним основанием будут проекциями точек \( M \) и \( N \) на верхний уровень. Эти точки — середины рёбер \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \), обозначим их \( M_1 \) и \( N_1 \) соответственно. Таким образом, сечение образует четырёхугольник с вершинами \( M \), \( N \), \( N_1 \), \( M_1 \).