ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AD\) и \(BC\) (рис. 15.16). Докажите перпендикулярность плоскостей: 1) \(ADF \perp BCD\); 2) \(ADF \perp BCE\).

1) Отрезок \(DF\) перпендикулярен ребру \(BC\), значит \(DF \perp\) плоскости \(BCD\). Следовательно, плоскость \(ADF \perp BCD\).

2) Аналогично, \(DF \perp BC\) и \(DF \perp BE\), значит \(DF \perp\) плоскости \(BCE\). Следовательно, плоскость \(ADF \perp BCE\).

Рассмотрим отрезок \(DF\), где \(D\) — вершина тетраэдра, а \(F\) — середина ребра \(BC\). Так как тетраэдр правильный, все его ребра равны, и треугольник \(BCD\) является равносторонним. Отрезок \(DF\), соединяющий вершину \(D\) с серединой ребра \(BC\), будет перпендикулярен к этому ребру \(BC\), поскольку в равностороннем треугольнике медиана является одновременно и высотой. Значит, \(DF \perp BC\).

Поскольку \(BC\) лежит в плоскости \(BCD\), а \(DF \perp BC\), то \(DF\) перпендикулярен всей плоскости \(BCD\). Тогда плоскость \(ADF\), которая содержит отрезок \(DF\), будет перпендикулярна плоскости \(BCD\). Таким образом, доказано, что \(ADF \perp BCD\).

Аналогично для второй части задачи рассмотрим плоскость \(BCE\), где \(E\) — середина ребра \(AD\). Отрезок \(DF\) остаётся перпендикулярен ребру \(BC\), а так как \(BE\) также лежит в плоскости \(BCE\), то \(DF\) перпендикулярен и к \(BE\). Следовательно, \(DF\) перпендикулярен всей плоскости \(BCE\). Из этого следует, что плоскость \(ADF\), содержащая \(DF\), перпендикулярна плоскости \(BCE\), то есть \(ADF \perp BCE\).