ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны \(15\) см и \(16\) см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов отрезка к линии пересечения данных плоскостей, равно \(12\) см. Найдите данный отрезок.

Дано: расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей \(15\) и \(16\) см, расстояние между основаниями перпендикуляров \(12\) см.

Сначала найдём длину отрезка основания перпендикуляров \(KB = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = 20\) см.

Длина отрезка \(AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = 25\) см.

Ответ: \(25\) см.

Отрезок \(AB\) расположен между двумя плоскостями, которые пересекаются по прямой. Из точек \(A\) и \(B\) опущены перпендикуляры на линию пересечения этих плоскостей, основания которых обозначены как \(K\) и \(M\). По условию, расстояния от точек \(A\) и \(B\) до линии пересечения равны соответственно \(15\) см и \(16\) см, а расстояние между основаниями перпендикуляров \(K\) и \(M\) равно \(12\) см. Для нахождения длины отрезка \(AB\) нужно рассмотреть треугольники, образованные этими точками и основаниями перпендикуляров.

Первым шагом является вычисление длины отрезка \(KM\), который лежит на линии пересечения плоскостей. Так как \(K\) и \(M\) — основания перпендикуляров из точек \(A\) и \(B\), то расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(12\) см и \(16\) см. Используя теорему Пифагора, найдём длину \(KB\) (расстояние между точкой \(B\) и основанием перпендикуляра \(K\)):

\(KB = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\) см.

Теперь, чтобы найти длину отрезка \(AB\), рассматриваем прямоугольный треугольник с катетами \(AK = 15\) см и \(KB = 20\) см, где \(AK\) — расстояние от точки \(A\) до основания перпендикуляра \(K\), а \(KB\) — расстояние, вычисленное на предыдущем шаге. Применим теорему Пифагора ещё раз:

\(AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\) см.

Таким образом, длина отрезка \(AB\) равна \(25\) см. Это значение учитывает все заданные расстояния и геометрические особенности расположения отрезка относительно пересекающихся плоскостей.