ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны. Точка \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\), точка \(B\) — в плоскости \(\beta\). Точка \(A\) удалена от линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) на \(5\) см, а точка \(B\) — на \(5\sqrt{2}\) см. Найдите угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\), если угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\beta\) равен \(30^\circ\).

Пусть \(K\) — линия пересечения плоскостей. Тогда \(AK = 5\), \(BK = 5 \sqrt{2}\).

Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\beta\) равен 30°, значит \(\cos 30^\circ = \frac{BK}{AB} = \frac{5 \sqrt{2}}{AB}\).

Отсюда \(AB = \frac{5 \sqrt{2}}{\cos 30^\circ} = \frac{5 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(\theta\), где \(\cos \theta = \frac{AK}{AB} = \frac{5}{\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\).

Вычисляя, \(\theta = 45^\circ\).

Ответ: 45°

Пусть \(K\) — точка пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). По условию расстояние от точки \(A\), лежащей в плоскости \(\alpha\), до линии пересечения равно 5 см, значит отрезок \(AK = 5\). Аналогично, расстояние от точки \(B\), лежащей в плоскости \(\beta\), до линии пересечения равно \(5 \sqrt{2}\), значит \(BK = 5 \sqrt{2}\). Эти отрезки перпендикулярны линии пересечения и принадлежат соответствующим плоскостям, то есть \(AK \perp \beta\) и \(BK \perp \alpha\).

Далее, угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\beta\) равен 30°, что означает, что проекция отрезка \(AB\) на плоскость \(\beta\) равна отрезку \(BK\). По определению косинуса угла между прямой и плоскостью, \(\cos 30^\circ = \frac{BK}{AB}\). Подставляя известные значения, получаем \( \cos 30^\circ = \frac{5 \sqrt{2}}{AB} \). Отсюда длина отрезка \(AB = \frac{5 \sqrt{2}}{\cos 30^\circ}\). Поскольку \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(AB = \frac{5 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).

Чтобы найти угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\), обозначим этот угол как \(\theta\). По аналогии с предыдущим случаем, \(\cos \theta = \frac{AK}{AB}\), так как проекцией \(AB\) на плоскость \(\alpha\) является отрезок \(AK\). Подставляем известные значения: \(\cos \theta = \frac{5}{\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{5 \sqrt{3}}{10 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\). Вычисляя угол \(\theta\), получаем \(\theta = 45^\circ\).

Ответ: 45°