ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Концы отрезка длиной \(6\) см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны \(3\) см и \(3\sqrt{3}\) см. Найдите углы, которые образует этот отрезок с данными плоскостями.

Длина отрезка \(AB = 6\), расстояния от концов до линии пересечения плоскостей \(d_A = 3\) и \(d_B = 3\sqrt{3}\).

Угол с плоскостью, где лежит точка \(A\), равен \(\angle A\), тогда \(\sin \angle A = \frac{d_B}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(\angle A = 60^\circ\).

Так как плоскости перпендикулярны, угол с другой плоскостью \(\angle B = 90^\circ — \angle A = 30^\circ\).

Ответ: \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 30^\circ\).

Длина отрезка \(AB\) равна 6 см, а его концы лежат на двух перпендикулярных плоскостях. Расстояния от точек \(A\) и \(B\) до линии пересечения этих плоскостей равны соответственно 3 см и \(3 \cdot \sqrt{3}\) см. Эти расстояния можно рассматривать как длины перпендикуляров, опущенных из точек \(A\) и \(B\) на линию пересечения плоскостей, которая является общей для обеих плоскостей. Поскольку плоскости перпендикулярны, углы между отрезком и каждой плоскостью связаны между собой.

Для нахождения угла, который отрезок образует с плоскостью, где лежит точка \(A\), нужно рассмотреть проекцию отрезка на эту плоскость. Расстояние от точки \(B\) до линии пересечения плоскостей \(d_B = 3 \cdot \sqrt{3}\) является катетом прямоугольного треугольника, в котором гипотенузой является длина отрезка \(AB\). Тогда синус угла между отрезком и плоскостью равен отношению длины этого катета к гипотенузе, то есть \(\sin \angle A = \frac{d_B}{AB} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Из этого следует, что \(\angle A = 60^\circ\).

Поскольку плоскости перпендикулярны, угол между отрезком и второй плоскостью, где лежит точка \(B\), равен дополняющему до 90 градусов углу, то есть \(\angle B = 90^\circ — \angle A = 30^\circ\). Таким образом, отрезок образует с плоскостями углы 60 и 30 градусов соответственно.