ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости трапеций \(ABCD\) и \(AEFD\) с общим основанием \(AD\) перпендикулярны, \(\angle BAD = \angle EAD = 90^\circ\), \(\angle ADC = \angle ADF = 60^\circ\), \(CD = 4\) см, \(DF = 8\) см. Найдите расстояние между: 1) прямыми \(BC\) и \(EF\); 2) точками \(C\) и \(F\).

Расстояние между прямыми \(BC\) и \(EF\) равно длине перпендикуляра между ними. По теореме Пифагора:

\(p(BC, EF) = \sqrt{DF^2 — CD^2} = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\).

Расстояние между точками \(C\) и \(F\) дано как длина отрезка \(DF\), то есть

\(p(C, F) = 8\).

Две трапеции \(ABCD\) и \(AEFD\) лежат в перпендикулярных плоскостях, что значит, что прямые \(BC\) и \(EF\), лежащие в этих трапециях, тоже находятся в разных плоскостях и не пересекаются. Чтобы найти расстояние между такими скрещивающимися прямыми, нужно построить перпендикуляр к обеим прямым и вычислить его длину. По условию, углы \(BAD\) и \(EAD\) равны \(90^\circ\), а углы \(ADC\) и \(ADF\) равны \(60^\circ\), что позволяет определить расположение точек и длины отрезков \(CD = 4\) см и \(DF = 8\) см.

Расстояние между прямыми \(BC\) и \(EF\) можно найти через длины отрезков \(CD\) и \(DF\), используя теорему Пифагора в треугольнике, образованном этими отрезками и перпендикуляром между прямыми. Формула для расстояния между прямыми будет выглядеть так: \(p(BC, EF) = \sqrt{DF^2 — CD^2}\). Подставляя значения, получаем \(p(BC, EF) = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) см. Это и есть длина кратчайшего перпендикуляра между прямыми \(BC\) и \(EF\).

Расстояние между точками \(C\) и \(F\) — это просто длина отрезка \(CF\), который по условию совпадает с длиной \(DF\), равной 8 см, так как точки \(C\) и \(F\) лежат на концах этого отрезка. Таким образом, \(p(C, F) = 8\) см. Этот отрезок является прямым расстоянием между двумя точками в пространстве, и его длина дана в условии задачи.