ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости квадрата \(ABCD\) и прямоугольника \(AEFD\) перпендикулярны. Найдите расстояние между прямыми \(BC\) и \(EF\), если площадь квадрата равна \(25\) см\(^2\), а площадь прямоугольника — \(60\) см\(^2\).

Площадь квадрата \(ABCD\) равна \(25\), значит сторона \(AB = 5\).

Площадь прямоугольника \(AEFD\) равна \(60\), значит \(AD \cdot DF = 5 \cdot DF = 60\), откуда \(DF = \frac{60}{5} = 12\).

Расстояние между прямыми \(BC\) и \(EF\) равно длине гипотенузы треугольника с катетами \(AB\) и \(DF\), то есть

\(d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\).

Ответ: 13.

Площадь квадрата \(ABCD\) равна \(25\), что означает, что его стороны равны. Так как площадь квадрата вычисляется по формуле \(S = AB^2\), то сторона \(AB\) равна корню из площади, то есть \(AB = \sqrt{25} = 5\). Это важно, так как длина стороны квадрата будет использоваться для дальнейших вычислений.

Площадь прямоугольника \(AEFD\) равна \(60\), и он построен на стороне \(AD\) квадрата и некотором отрезке \(DF\). Поскольку \(AD\) является стороной квадрата, его длина также равна \(5\). Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон, то есть \(S = AD \cdot DF\). Подставляя известные значения, получаем \(60 = 5 \cdot DF\), откуда следует, что \(DF = \frac{60}{5} = 12\). Эта длина представляет собой сторону прямоугольника, перпендикулярную стороне квадрата.

Расстояние между прямыми \(BC\) и \(EF\) можно найти, учитывая, что плоскости квадратa и прямоугольника перпендикулярны. Это значит, что расстояние между этими двумя прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим. Если представить треугольник с катетами, равными сторонам квадрата и прямоугольника, то расстояние будет гипотенузой этого треугольника. Используем теорему Пифагора: \(d = \sqrt{AB^2 + DF^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\). Таким образом, искомое расстояние равно 13.