ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На рисунке 15.10 изображён куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Определите, перпендикулярны ли плоскости:

1) \(A_1B_1C_1\) и \(CDD_1\); 3) \(AA_1C_1\) и \(ABC\);

2) \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\); 4) \(ACC_1\) и \(BDD_1\).

Плоскости \(A_1B_1C_1\) и \(CDD_1\). Векторы \(A_1B_1\) и \(CD\) параллельны ребрам куба, а \(B_1C_1\) и \(DD_1\) — тоже. Эти векторы перпендикулярны, значит плоскости перпендикулярны. Ответ: да.

Плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Это параллельные основания куба, они не перпендикулярны. Ответ: нет.

Плоскости \(AA_1C_1\) и \(ABC\). Ребро \(AA_1\) перпендикулярно основанию \(ABC\), значит плоскости перпендикулярны. Ответ: да.

Плоскости \(ACC_1\) и \(BDD_1\). Векторы \(AC\) и \(BD\) лежат в основании, а \(CC_1\) и \(DD_1\) вертикальны. Пересечение по ребру и взаимная перпендикулярность векторов дают перпендикулярность плоскостей. Ответ: да.

Плоскости \(A_1B_1C_1\) и \(CDD_1\). Рассмотрим векторы, лежащие в этих плоскостях. В плоскости \(A_1B_1C_1\) возьмём векторы \( \overrightarrow{A_1B_1} \) и \( \overrightarrow{B_1C_1} \), которые параллельны ребрам куба и лежат в верхнем основании. В плоскости \(CDD_1\) рассмотрим векторы \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{DD_1} \). Из геометрии куба известно, что ребра основания перпендикулярны боковым рёбрам, то есть \( \overrightarrow{A_1B_1} \perp \overrightarrow{DD_1} \) и \( \overrightarrow{B_1C_1} \perp \overrightarrow{CD} \). Таким образом, плоскости содержат пары векторов, которые взаимно перпендикулярны, что означает перпендикулярность самих плоскостей. Следовательно, ответ — да.

Плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — это два основания куба, расположенные параллельно друг другу. Плоскость \(ABC\) — нижнее основание, а \(A_1B_1C_1\) — верхнее. Поскольку основания куба параллельны, их нормали совпадают по направлению, и угол между ними равен нулю. Перпендикулярность требует, чтобы угол между плоскостями был равен \(90^\circ\), чего здесь нет. Поэтому плоскости не перпендикулярны. Ответ — нет.

Плоскости \(AA_1C_1\) и \(ABC\). Рассмотрим ребро \(AA_1\), оно является боковым ребром куба и перпендикулярно основанию \(ABC\). В плоскости \(AA_1C_1\) лежат векторы \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{AC_1} \), а в плоскости \(ABC\) — векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \). Поскольку \( \overrightarrow{AA_1} \perp \) плоскости \(ABC\), то плоскости \(AA_1C_1\) и \(ABC\) тоже перпендикулярны. Ответ — да.

Плоскости \(ACC_1\) и \(BDD_1\). В плоскости \(ACC_1\) лежат векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{CC_1} \), а в плоскости \(BDD_1\) — \( \overrightarrow{BD} \) и \( \overrightarrow{DD_1} \). Векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BD} \) лежат в основании куба и пересекаются под углом \(90^\circ\), так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Векторы \( \overrightarrow{CC_1} \) и \( \overrightarrow{DD_1} \) вертикальны и параллельны друг другу. Пересечение плоскостей по линии, образованной вертикальными ребрами, и взаимная перпендикулярность векторов основания гарантируют, что плоскости \(ACC_1\) и \(BDD_1\) перпендикулярны. Ответ — да.