ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендикулярны некоторой плоскости, то данные плоскость и прямая параллельны.

Пусть прямая \(l\) не параллельна плоскости \(\alpha\). Тогда \(l\) пересекает \(\alpha\) в точке \(A\).

В плоскости \(\alpha\) проведём прямую \(d\), проходящую через \(A\) и перпендикулярную \(l\).

Так как \(\alpha \perp \beta\), то \(d \perp \beta\).

По условию \(l \perp \beta\).

Из этого следует, что \(l \parallel d\) или \(l = d\), что невозможно, так как \(d \perp l\).

Получаем противоречие, значит предположение неверно.

Следовательно, \(l \parallel \alpha\).

Пусть прямая \(l\) не параллельна плоскости \(\alpha\). Это означает, что либо \(l\) пересекает плоскость \(\alpha\), либо лежит в ней. По условию \(l\) не лежит в \(\alpha\), значит \(l\) пересекает \(\alpha\) в некоторой точке \(A\). Рассмотрим эту точку пересечения. В этой точке можно провести прямую \(d\), которая лежит в плоскости \(\alpha\) и при этом перпендикулярна прямой \(l\). Такая прямая существует, так как в любой плоскости через точку можно провести перпендикуляр к данной прямой.

Далее, по условию, плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(\beta\). Это значит, что любая прямая, лежащая в \(\alpha\), перпендикулярна плоскости \(\beta\). В частности, прямая \(d\), лежащая в \(\alpha\), будет перпендикулярна плоскости \(\beta\), то есть \(d \perp \beta\). Также по условию прямая \(l\) перпендикулярна плоскости \(\beta\), то есть \(l \perp \beta\). Таким образом, обе прямые \(l\) и \(d\) перпендикулярны одной и той же плоскости \(\beta\).

Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они либо параллельны, либо совпадают. Но мы построили \(d\) так, что она перпендикулярна \(l\), то есть угол между ними равен \(90^\circ\). Это противоречит тому, что они могли бы быть параллельными или совпадать. Получается логическое противоречие с предположением, что \(l\) пересекает \(\alpha\). Следовательно, наше предположение неверно и прямая \(l\) не пересекает плоскость \(\alpha\), то есть \(l\) параллельна \(\alpha\).