ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть плоскость \(\gamma\) перпендикулярна плоскости \(\beta\), а \(\alpha \parallel \beta\).

Тогда если \(\gamma\) не перпендикулярна \(\alpha\), существует прямая \(l \subset \alpha\), такая что \(\gamma \not\perp l\).

Из параллельности \(\alpha\) и \(\beta\) следует, что есть прямая \(m \subset \beta\), параллельная \(l\), то есть \(l \parallel m\).

Так как \(\gamma \perp \beta\), то \(\gamma \perp m\).

Из \(\gamma \perp m\) и \(l \parallel m\) следует \(\gamma \perp l\), что противоречит предположению.

Следовательно, \(\gamma \perp \alpha\).

Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то есть \(\alpha \parallel \beta\). Это означает, что они не пересекаются и расстояние между ними везде одинаково. Рассмотрим плоскость \(\gamma\), которая перпендикулярна плоскости \(\beta\), то есть \(\gamma \perp \beta\). Перпендикулярность плоскостей означает, что любая прямая, лежащая в плоскости \(\beta\), перпендикулярна плоскости \(\gamma\).

Если предположить, что плоскость \(\gamma\) не перпендикулярна плоскости \(\alpha\), то существует прямая \(l\), лежащая в \(\alpha\), такая что \(\gamma\) не перпендикулярна \(l\). Поскольку \(\alpha \parallel \beta\), то для любой прямой \(l \subset \alpha\) найдется прямая \(m \subset \beta\), параллельная \(l\), то есть \(l \parallel m\). Параллельность прямых означает, что они лежат в разных плоскостях, но не пересекаются и имеют одинаковое направление.

Из условия \(\gamma \perp \beta\) следует, что \(\gamma\) перпендикулярна любой прямой \(m\) в плоскости \(\beta\). Так как \(l \parallel m\), и \(\gamma \perp m\), по свойству перпендикулярности к параллельным прямым следует, что \(\gamma\) должна быть перпендикулярна и прямой \(l\). Это противоречит предположению, что \(\gamma\) не перпендикулярна \(l\). Следовательно, наше предположение неверно, и плоскость \(\gamma\) действительно перпендикулярна плоскости \(\alpha\).