ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через прямую \(AA_1\) и перпендикулярной плоскости \(BDD_1\).

Плоскость проходит через прямую \(AA_1\) и перпендикулярна плоскости \(BDD_1\).

Для нахождения сечения определим вторую прямую в искомой плоскости, лежащую в плоскости \(BDD_1\) и перпендикулярную \(AA_1\). Эта прямая — \(BD\).

Сечение куба — четырехугольник с вершинами \(A, A_1, B_1, D\).

Плоскость, проходящая через прямую \(AA_1\), содержит все точки этого ребра куба, которое соединяет вершины основания и верхнего основания. Прямая \(AA_1\) является вертикальным ребром куба, поэтому вектор, направленный вдоль \(AA_1\), можно считать вертикальным вектором, например, \( \overrightarrow{AA_1} = (0,0,h) \), где \(h\) — длина ребра куба. Для построения плоскости, которая проходит через \(AA_1\) и перпендикулярна плоскости \(BDD_1\), нужно определить нормаль к плоскости \(BDD_1\) и использовать её для нахождения направления искомой плоскости.

Плоскость \(BDD_1\) задаётся тремя точками: \(B\), \(D\) и \(D_1\). Векторы, лежащие в этой плоскости, можно выбрать как \( \overrightarrow{BD} \) и \( \overrightarrow{BD_1} \). Нормаль к плоскости \(BDD_1\) вычисляется как векторное произведение этих двух векторов: \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BD_1} \). Поскольку искомая плоскость должна быть перпендикулярна плоскости \(BDD_1\), её нормаль должна быть параллельна вектору \( \overrightarrow{n} \). Однако плоскость проходит через \(AA_1\), значит вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) лежит в плоскости, а нормаль к ней перпендикулярна этому вектору.

Таким образом, искомая плоскость содержит вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) и вектор, перпендикулярный \( \overrightarrow{AA_1} \), лежащий в плоскости \(BDD_1\). Этот второй вектор — проекция вектора \( \overrightarrow{BD} \) на плоскость, перпендикулярную \( \overrightarrow{AA_1} \). Плоскость пересекает рёбра куба в точках \(A\), \(A_1\), \(B_1\) и \(D\), образуя четырёхугольник. Таким образом, сечение куба плоскостью, проходящей через \(AA_1\) и перпендикулярной плоскости \(BDD_1\), — это четырёхугольник с вершинами \(A, A_1, B_1, D\).