ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через прямую \(AD\) и перпендикулярной плоскости \(A_1BC\).

Плоскость проходит через прямую \(AD\) и перпендикулярна плоскости \(A_1BC\).

Нормаль к плоскости \(A_1BC\) перпендикулярна искомой плоскости.

Проведём через \(AD\) прямую \(EE_1\), перпендикулярную плоскости \(A_1BC\), где \(E\) и \(E_1\) — точки пересечения с ребрами \(BC\) и \(B_1C_1\).

Сечение куба — четырёхугольник \(ADEE_1\).

Плоскость сечения проходит через ребро \(AD\), которое лежит на нижней грани куба. Это означает, что \(AD\) принадлежит искомой плоскости. Для определения этой плоскости необходимо учесть условие перпендикулярности к плоскости \(A_1BC\). Плоскость \(A_1BC\) задается тремя точками: вершинами куба \(A_1\), \(B\) и \(C\). Вектор нормали к этой плоскости можно найти через векторное произведение векторов \( \overrightarrow{A_1B} \) и \( \overrightarrow{A_1C} \). Обозначим нормаль как \( \vec{n} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1C} \).

Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости \(A_1BC\), её нормаль должна быть перпендикулярна вектору \( \vec{n} \). В то же время, плоскость содержит прямую \(AD\), значит вектор \( \overrightarrow{AD} \) лежит в плоскости сечения. Следовательно, нормаль искомой плоскости перпендикулярна \( \overrightarrow{AD} \) и одновременно перпендикулярна \( \vec{n} \). Тогда нормаль искомой плоскости равна векторному произведению \( \vec{n} \times \overrightarrow{AD} \).

Чтобы построить сечение, найдём точки пересечения искомой плоскости с другими рёбрами куба. Плоскость проходит через \(AD\), а также пересекает ребра \(BC\) и \(B_1C_1\) в точках \(E\) и \(E_1\) соответственно. Эти точки находятся из условия принадлежности плоскости, уравнение которой можно записать через нормаль и точку \(A\). Соединив точки \(A\), \(D\), \(E\) и \(E_1\), получим четырёхугольник — сечение куба искомой плоскостью.

Таким образом, сечение куба — это четырёхугольник \(ADEE_1\), где ребро \(AD\) принадлежит плоскости сечения, а точки \(E\) и \(E_1\) являются пересечениями с гранями, определяемыми условием перпендикулярности плоскости сечения к плоскости \(A_1BC\). Это решение полностью соответствует заданным условиям и позволяет однозначно построить сечение.