ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(E\), \(F\) и \(M\) — середины соответственно рёбер \(BC\), \(B_1C_1\) и \(C_1D_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью \(EFM\).

2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости \(ABC\).

3) Найдите площадь сечения, если \(AD = 8\) см, \(AA_1 = 12\) см, \(AB = 6\) см.

Точки \(E, F, M\) — середины рёбер \(BC, B_1C_1, C_1D_1\). Построим треугольник \(EFM\) — это сечение параллелепипеда плоскостью.

Плоскость \(EFM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), так как \(EF \perp BC\) и \(EF \perp AD\), а \(M\) лежит на ребре, параллельном \(AD\).

Длины: \(EF = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) см, \(FM = 12\) см. Площадь сечения \(S_{EFM} = \frac{1}{2} \times EF \times FM = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\) см².

Точки \(E\), \(F\) и \(M\) являются серединами рёбер \(BC\), \(B_1C_1\) и \(C_1D_1\) соответственно. Это значит, что \(E\) делит ребро \(BC\) пополам, \(F\) — ребро \(B_1C_1\), а \(M\) — ребро \(C_1D_1\). Построив треугольник \(EFM\), мы получаем сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти три точки. Поскольку все три точки лежат на рёбрах параллелепипеда, сечение — это плоская фигура, которая в данном случае является треугольником.

Плоскость \(EFM\) перпендикулярна плоскости основания \(ABC\), так как отрезок \(EF\) перпендикулярен ребру \(BC\), а также перпендикулярен ребру \(AD\), который лежит в плоскости \(ABC\). Это доказывает, что \(EF\) перпендикулярен плоскости \(ABC\). Точка \(M\) лежит на ребре \(C_1D_1\), которое параллельно ребру \(AD\), следовательно, плоскость, проходящая через \(E\), \(F\) и \(M\), тоже перпендикулярна плоскости \(ABC\). Таким образом, сечение плоскостью \(EFM\) образует угол \(90^\circ\) с основанием параллелепипеда.

Для нахождения площади треугольника \(EFM\) нужно вычислить длины отрезков \(EF\) и \(FM\). По условию длины рёбер равны \(AD = 8\) см, \(AA_1 = 12\) см и \(AB = 6\) см. Отрезок \(EF\) можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами длиной 4 см и 3 см: \(EF = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) см. Длина отрезка \(FM\) равна длине ребра \(AA_1\), то есть \(12\) см. Площадь треугольника \(EFM\) равна половине произведения основания \(EF\) на высоту \(FM\), то есть \(S_{EFM} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\) см².