ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости квадрата \(ABCD\) и треугольника \(AFB\) перпендикулярны, точка \(O\) — центр квадрата \(ABCD\). Найдите расстояние от точки \(F\) до центра окружности, проходящей через точки \(C\), \(D\) и \(O\), если \(AB = 10\) см, \(AF = BF = 15\) см.

Координаты точек квадрата: \(A(0,0,0)\), \(B(10,0,0)\), \(C(10,10,0)\), \(D(0,10,0)\), центр \(O(5,5,0)\).

Точка \(F\) лежит на перпендикуляре к \(AB\) в середине отрезка, значит \(F(5,0,h)\). Из условия \(AF=15\), значит \( \sqrt{25 + h^2} = 15 \), откуда \(h = 10\sqrt{2}\).

Центр окружности через \(C, D, O\) находится на пересечении перпендикуляров к отрезкам \(CD\) и \(CO\). Перпендикуляр к \(CD\) через середину \(M_{CD}(5,10,0)\) — прямая \(x=5\). Перпендикуляр к \(CO\) через середину \(M_{CO}(7.5,7.5,0)\) — линия \(y = -x + 15\). Пересечение даёт центр окружности \(O_c(5,10,0)\).

Расстояние от \(F\) до \(O_c\): \( \sqrt{(5-5)^2 + (0-10)^2 + (10\sqrt{2}-0)^2} = \sqrt{100 + 200} = 10\sqrt{3} \).

Ответ: \(10\sqrt{3}\) см.

Рассмотрим квадрат \(ABCD\) с длиной стороны \(AB = 10\) см, расположенный в плоскости \(z=0\). Координаты вершин квадрата можно задать так: \(A(0,0,0)\), \(B(10,0,0)\), \(C(10,10,0)\), \(D(0,10,0)\). Центр квадрата \(O\) — это середина диагонали, следовательно, \(O\) имеет координаты \( \left( \frac{0+10}{2}, \frac{0+10}{2}, 0 \right) = (5,5,0) \). Поскольку плоскость треугольника \(AFB\) перпендикулярна плоскости квадрата, точка \(F\) должна находиться на линии, перпендикулярной к плоскости \(z=0\), то есть иметь координату \(z\) отличную от нуля.

Пусть \(F\) лежит на перпендикуляре к отрезку \(AB\) в его середине, тогда \(F\) имеет координаты \( (5,0,h) \), где \(h\) — высота точки \(F\) над плоскостью квадрата. Из условия, что \(AF = BF = 15\) см, вычислим \(h\). Расстояние \(AF\) равно \( \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2 + (h-0)^2} = \sqrt{25 + h^2} \). Приравнивая к 15, получаем уравнение \( \sqrt{25 + h^2} = 15 \), откуда \(25 + h^2 = 225\), значит \(h^2 = 200\), и \(h = 10 \sqrt{2}\).

Далее найдем центр окружности, проходящей через точки \(C\), \(D\) и \(O\), все из которых лежат в плоскости \(z=0\). Сначала определим середины отрезков \(CD\) и \(CO\): \(M_{CD} = \left( \frac{10+0}{2}, \frac{10+10}{2}, 0 \right) = (5,10,0)\) и \(M_{CO} = \left( \frac{10+5}{2}, \frac{10+5}{2}, 0 \right) = (7.5,7.5,0)\). Перпендикуляр к отрезку \(CD\) в точке \(M_{CD}\) — это прямая \(x=5\), так как \(CD\) горизонтален. Для отрезка \(CO\), наклон которого равен \(k_{CO} = \frac{5-10}{5-10} = 1\), перпендикулярный наклон будет \(k_{\perp} = -1\). Уравнение перпендикуляра к \(CO\), проходящего через \(M_{CO}\), имеет вид \( y — 7.5 = -1(x — 7.5) \), или \( y = -x + 15 \). Пересечение этих двух прямых — центр искомой окружности: подставляя \(x=5\), получаем \(y = -5 + 15 = 10\), то есть центр \(O_c = (5,10,0)\).

Наконец, вычислим расстояние от точки \(F(5,0,10 \sqrt{2})\) до центра окружности \(O_c(5,10,0)\). Расстояние равно \( \sqrt{(5-5)^2 + (0-10)^2 + (10 \sqrt{2} — 0)^2} = \sqrt{0 + 100 + 200} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3} \). Таким образом, искомое расстояние равно \(10 \sqrt{3}\) сантиметров.