ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости квадратов \(ABCD\) и \(BEFD\) перпендикулярны, \(AB = a\). Найдите расстояние между прямыми: 1) \(BE\) и \(DF\); 2) \(BE\) и \(CD\).

Расстояние между прямыми \(BE\) и \(DF\) равно длине ребра квадрата, так как они параллельны и принадлежат перпендикулярным плоскостям, значит \(d_1 = a\).

Расстояние между прямыми \(BE\) и \(CD\) — это длина отрезка, соединяющего их, который равен диагонали квадрата, умноженной на сторону, то есть \(d_2 = a \sqrt{2}\).

Квадраты \(ABCD\) и \(BEFD\) имеют сторону \(a\) и расположены в пространстве так, что их плоскости перпендикулярны. Рассмотрим сначала прямые \(BE\) и \(DF\). Они лежат в разных плоскостях, но параллельны, так как в каждом квадрате стороны равны и параллельны. Поскольку квадраты перпендикулярны, расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, проведённого между ними. В данном случае это длина стороны квадрата, то есть \(d_1 = a\).

Теперь рассмотрим прямые \(BE\) и \(CD\). Они не параллельны и не пересекаются, следовательно, это скрещивающиеся прямые. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно вычислить длину перпендикуляра, опущенного из одной прямой на другую. В данном случае эти прямые лежат в перпендикулярных плоскостях, и расстояние между ними совпадает с длиной диагонали квадрата, так как они расположены на расстоянии, равном диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна \(a \sqrt{2}\), следовательно, \(d_2 = a \sqrt{2}\).

Таким образом, расстояние между прямыми \(BE\) и \(DF\) равно \(a\), так как они параллельны и принадлежат перпендикулярным плоскостям, а расстояние между \(BE\) и \(CD\) равно \(a \sqrt{2}\), так как это расстояние между скрещивающимися прямыми, расположенными на диагонали квадрата.