ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольник \(ABCD\) перегнули по диагонали \(AC\) так, что плоскости \(ABC\) и \(ADC\) оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками \(B\) и \(D\), если \(AB = 30\) см, \(BC = 40\) см.

Длина диагонали прямоугольника \(AC = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\).

Обозначим \(AK = x\), тогда \(KC = 50 — x\).

В треугольнике \(ABK\) \(BK^2 = 30^2 — x^2 = 900 — x^2\).

В треугольнике \(KCD\) \(KC^2 = (50 — x)^2 = 2500 — 100x + x^2\).

Из условия перпендикулярности \(BK^2 = 40^2 — KC^2\), значит \(900 — x^2 = 1600 — (2500 — 100x + x^2)\).

Упрощая, получаем \(100x = 1800\), откуда \(x = 18\).

Тогда \(BK = \sqrt{900 — 18^2} = 24\).

Расстояние \(BD = \sqrt{24^2 + 24^2} = 24 \cdot \sqrt{2}\).

Длина диагонали прямоугольника \(AC\) вычисляется по теореме Пифагора, так как \(ABCD\) — прямоугольник с катетами \(AB = 30\) и \(BC = 40\). Формула для диагонали: \(AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\). Это значение важно, потому что сгиб происходит именно по этой диагонали, и она является осью сгиба.

Обозначим точку сгиба на диагонали как \(K\), тогда длина отрезка \(AK\) равна \(x\), а длина \(KC = 50 — x\). Рассмотрим треугольник \(ABK\), который лежит в плоскости \(ABC\). В этом треугольнике гипотенуза \(AB = 30\), а катеты — \(AK = x\) и \(BK\). По теореме Пифагора для треугольника \(ABK\) получаем \(BK^{2} = AB^{2} — AK^{2} = 30^{2} — x^{2} = 900 — x^{2}\).

Аналогично рассмотрим треугольник \(KCD\) в плоскости \(ADC\). Здесь гипотенуза — отрезок \(KC = 50 — x\), а катеты — \(KD\) и \(CD = 40\). По условию сгиба плоскости \(ABC\) и \(ADC\) стали перпендикулярными, значит отрезки \(BK\) и \(KD\) взаимно перпендикулярны, и \(BK^{2} + KD^{2} = BD^{2}\). При этом \(KD\) равен \(BK\) по построению, так как сгиб сохраняет длину перпендикулярных отрезков. Из условия перпендикулярности следует равенство \(BK^{2} = BC^{2} — KC^{2}\), то есть \(900 — x^{2} = 40^{2} — (50 — x)^{2} = 1600 — (2500 — 100x + x^{2})\).

Раскроем скобки и упростим уравнение: \(900 — x^{2} = 1600 — 2500 + 100x — x^{2}\), что даёт \(900 = -900 + 100x\). Отсюда \(100x = 1800\), значит \(x = 18\). Подставим это значение в выражение для \(BK\): \(BK = \sqrt{900 — 18^{2}} = \sqrt{900 — 324} = \sqrt{576} = 24\). Расстояние между точками \(B\) и \(D\) после сгиба равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(BK\) и \(KD\), то есть \(BD = \sqrt{24^{2} + 24^{2}} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152} = 24 \cdot \sqrt{2}\).