ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямоугольник \(ABCD\) перегнули по диагонали \(AC\) так, что плоскости \(ABC\) и \(ADC\) оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками \(B\) и \(D\), если \(AB = 30\) см, \(BC = 40\) см.

Пусть \(B = (0,0,0)\), \(D = (5,0,0)\). Тогда \(A = (2, 2\sqrt{3}, 0)\) по условию \(AB=4\) и \(\angle ABD=60^\circ\).

Точка \(C\) до перегиба: \(C = (2, -2\sqrt{3}, 0)\).

После перегиба плоскости \(CBD\) на \(90^\circ\) вокруг оси \(BD\) (оси \(x\)) точка \(C\) переходит в \(C’ = (2, 0, 2\sqrt{3})\).

Расстояние \(AC’\) равно \(\sqrt{(2-2)^2 + (2\sqrt{3} — 0)^2 + (0 — 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 12 + 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).

Ответ: \(AC = 2\sqrt{6}\) см.

Пусть \(B = (0,0,0)\) и \(D = (5,0,0)\), так как длина диагонали \(BD\) равна 5 см. Рассмотрим треугольник \(ABD\), в котором известно, что \(AB = 4\) см и угол \(\angle ABD = 60^\circ\). Чтобы найти координаты точки \(A\), обозначим её как \(A = (x,y,0)\), так как она лежит в плоскости \(ABD\). Из условия длины отрезка \(AB\) следует, что расстояние от \(B\) до \(A\) равно 4, то есть \(\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 4\). Угол между векторами \(BD\) и \(AB\) равен 60 градусам, поэтому косинус угла равен \(\frac{x}{4} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), откуда \(x = 2\). Подставляя это значение в уравнение длины, получаем \(2^{2} + y^{2} = 16\), что даёт \(y^{2} = 12\), и значит \(y = 2\sqrt{3}\). Таким образом, координаты точки \(A\) равны \( (2, 2\sqrt{3}, 0) \).

Точка \(C\) симметрична точке \(A\) относительно диагонали \(BD\), поэтому её координаты до перегиба будут \(C = (2, -2\sqrt{3}, 0)\). После того как плоскость \(CBD\) поворачивается на 90 градусов вокруг оси \(BD\), которая совпадает с осью \(x\), точка \(C\) перемещается в новую позицию \(C’\). При повороте на 90 градусов вокруг оси \(x\) координаты преобразуются по правилу \((x, y, z) \to (x, z, -y)\). Применяя это к \(C\), получаем \(C’ = (2, 0, 2\sqrt{3})\).

Теперь можно найти расстояние между точками \(A\) и \(C’\) после перегиба. Это расстояние вычисляется по формуле \(\sqrt{(x_{A} — x_{C’})^{2} + (y_{A} — y_{C’})^{2} + (z_{A} — z_{C’})^{2}}\). Подставляя координаты, получаем \(\sqrt{(2 — 2)^{2} + (2\sqrt{3} — 0)^{2} + (0 — 2\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{0 + 12 + 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\). Следовательно, искомое расстояние между точками \(A\) и \(C\) в новом положении равно \(2\sqrt{6}\) см.