ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) равноудалена от вершин равностороннего треугольника \(ABC\) и находится на расстоянии \(8\) см от его плоскости. Найдите расстояние от центра треугольника \(ABC\) до плоскости \(AMB\), если сторона данного треугольника равна \(12\sqrt{3}\) см.

Высота равностороннего треугольника \(ABC\) равна \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 18\) см.

Расстояние от центра \(O\) до вершины \(A\) равно \(AO = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \times 18 = 12\) см.

Точка \(M\) находится на высоте 8 см от плоскости \(ABC\).

Расстояние от \(O\) до плоскости \(AMB\) равно \(d = 4.8\) см.

Равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(a = 12 \sqrt{3}\) см имеет высоту, которую можно найти по формуле \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Подставляя значение \(a\), получаем \(h = \frac{12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18\) см. Эта высота играет ключевую роль, так как центр треугольника \(O\) находится на расстоянии \(\frac{2}{3} h\) от вершины \(A\) по медиане, то есть \(AO = \frac{2}{3} \times 18 = 12\) см.

Точка \(M\) равноудалена от всех вершин \(A\), \(B\), \(C\), следовательно, она расположена на оси, проходящей через центр \(O\) перпендикулярно плоскости треугольника. Расстояние от \(M\) до плоскости \(ABC\) дано и равно 8 см, то есть точка \(M\) находится на высоте 8 см над плоскостью треугольника. Это позволяет рассматривать \(M\) как вершину правильной треугольной пирамиды с основанием \(ABC\).

Для нахождения расстояния от центра \(O\) до плоскости \(AMB\) нужно учесть, что плоскость \(AMB\) наклонена относительно плоскости \(ABC\). В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) — середина стороны \(AB\), и расстояние \(DO = 12\) см. Высота в треугольнике \(AMB\), проведённая из точки \(O\), равна \(OH = 6\) см. Используя эти данные и свойства треугольников, расстояние от \(O\) до плоскости \(AMB\) вычисляется как \(d = 4.8\) см.