ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) равноудалена от вершин квадрата \(ABCD\) и находится на расстоянии \(4\sqrt{2}\) см от его плоскости. Найдите расстояние от центра квадрата \(ABCD\) до плоскости \(CMD\), если сторона квадрата равна \(4\) см.

Пусть центр квадрата \(O\) и точка \(M\) имеют координаты \(O(2,2,0)\), \(M(2,2,4\sqrt{2})\). Векторы \(\vec{CM} = (-2,-2,4\sqrt{2})\), \(\vec{CD} = (-4,0,0)\).

Вычисляем нормаль к плоскости \(CMD\): \(\vec{n} = \vec{CM} \times \vec{CD} = (0,-16\sqrt{2},-8)\).

Уравнение плоскости \(CMD\): \(-16\sqrt{2}y — 8z + 64\sqrt{2} = 0\).

Расстояние от \(O\) до плоскости:

\(d = \frac{|0 \cdot 2 — 16\sqrt{2} \cdot 2 — 8 \cdot 0 + 64\sqrt{2}|}{\sqrt{0^2 + (-16\sqrt{2})^2 + (-8)^2}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{512 + 64}} = \frac{32\sqrt{2}}{24} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\).

Ответ: расстояние равно \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\) см.

Центр квадрата \(O\) находится в точке с координатами \( (2, 2, 0) \), так как квадрат со стороной 4 расположен в плоскости \(xy\) с вершинами \(A(0,0,0)\), \(B(4,0,0)\), \(C(4,4,0)\), \(D(0,4,0)\). Точка \(M\), равноудалённая от всех вершин квадрата и находящаяся на расстоянии \(4\sqrt{2}\) от плоскости квадрата, имеет координаты \( (2, 2, 4\sqrt{2}) \). Это соответствует тому, что \(M\) расположена точно над центром квадрата на высоте \(4\sqrt{2}\).

Для нахождения расстояния от точки \(O\) до плоскости \(CMD\) нужно определить уравнение этой плоскости. Для этого найдём два вектора в плоскости: \(\vec{CM} = M — C = (-2, -2, 4\sqrt{2})\) и \(\vec{CD} = D — C = (-4, 0, 0)\). Вектор нормали к плоскости \(CMD\) равен векторному произведению этих векторов: \(\vec{n} = \vec{CM} \times \vec{CD} = (0, -16\sqrt{2}, -8)\). Уравнение плоскости записывается в форме \(A(x — x_0) + B(y — y_0) + C(z — z_0) = 0\), где \((x_0, y_0, z_0)\) — точка на плоскости, например \(C(4,4,0)\), а \((A, B, C)\) — координаты нормали. Подставляя, получаем уравнение плоскости: \(-16\sqrt{2}(y — 4) — 8(z — 0) = 0\), что преобразуется в \(-16\sqrt{2}y — 8z + 64\sqrt{2} = 0\).

Расстояние от точки \(O(2, 2, 0)\) до плоскости \(CMD\) вычисляется по формуле \(d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\). Подставляя значения, получаем \(d = \frac{|0 \cdot 2 — 16\sqrt{2} \cdot 2 — 8 \cdot 0 + 64\sqrt{2}|}{\sqrt{0^2 + (-16\sqrt{2})^2 + (-8)^2}} = \frac{| -32\sqrt{2} + 64\sqrt{2} |}{\sqrt{512 + 64}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{576}} = \frac{32\sqrt{2}}{24} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\). Таким образом, расстояние от центра квадрата до плоскости \(CMD\) равно \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\) см.