ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости равностороннего треугольника \(AMB\) и квадрата \(ABCD\) перпендикулярны. Найдите угол между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\).

Пусть \(MK = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(KD = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

Тогда \(\tan \angle MOK = \frac{MK}{KD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\).

Угол между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\) равен \(\arctan \frac{\sqrt{15}}{5}\).

Для нахождения угла между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\) необходимо рассмотреть проекцию точки \(D\) на плоскость \(ABC\). Обозначим эту проекцию как точку \(K\). Тогда угол между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между вектором \(MD\) и его проекцией на плоскость, то есть углу между отрезками \(MK\) и \(KD\).

Длина отрезка \(MK\) равна высоте равностороннего треугольника \(AMB\), которая вычисляется по формуле \(MK = \frac{\sqrt{3}}{2}\), так как сторона треугольника равна 1. Длина отрезка \(KD\) вычисляется как расстояние от точки \(K\) до вершины квадрата \(D\) и равна \(KD = \frac{\sqrt{5}}{2}\), учитывая координаты точек в пространстве и свойства квадрата.

Угол между прямой и плоскостью можно найти через тангенс угла, который равен отношению противолежащего катета \(MK\) к прилежащему катету \(KD\). Следовательно, \(\tan \angle MOK = \frac{MK}{KD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\). Значит, искомый угол равен \(\arctan \frac{\sqrt{15}}{5}\).