Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Плоскости равносторонних треугольников \(ABC\) и \(ABD\) перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\).
Плоскости треугольников \(ABC\) и \(ABD\) перпендикулярны, значит угол между ними равен \(90^\circ\).
Треугольники равносторонние, поэтому все их стороны равны.
Угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) равен углу между векторами, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными общей стороне \(CD\).
Вычисляя скалярное произведение соответствующих векторов, получаем, что угол между плоскостями равен \(\arccos \frac{1}{5}\).
Плоскости треугольников \(ABC\) и \(ABD\) перпендикулярны, следовательно, угол между ними равен \(90^\circ\). Поскольку треугольники равносторонние, все их стороны равны по длине, обозначим эту длину как \(a\). Это значит, что отрезки \(AB\), \(BC\), \(AC\) и \(BD\), \(AD\) также равны \(a\).
Для нахождения угла между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) рассмотрим векторы, лежащие в этих плоскостях и перпендикулярные общей стороне \(CD\). Пусть вектор \( \overrightarrow{CD} \) является общей стороной, а векторы \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{BC} \) лежат в плоскостях \(ACD\) и \(BCD\) соответственно. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям, которые можно получить через векторное произведение.
Нормаль к плоскости \(ACD\) будет вектором \( \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{CD} \), а нормаль к плоскости \(BCD\) — вектором \( \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{CD} \). Угол между плоскостями равен углу между нормалями, который вычисляется через скалярное произведение: \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \). Подставляя координаты и учитывая равенство сторон и перпендикулярность плоскостей \(ABC\) и \(ABD\), получаем \( \cos \theta = \frac{1}{5} \). Следовательно, угол между плоскостями \(ACD\) и \(BCD\) равен \( \arccos \frac{1}{5} \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!