ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости равносторонних треугольников \(ABC\) и \(ABD\) перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(BCD\).

Плоскости \(ABC\) и \(ABD\) перпендикулярны, значит угол между ними равен \(90^\circ\).

Так как треугольники равносторонние, то все стороны равны: \(AB = BC = AC = BD = AD\).

Угол между плоскостями \(ABC\) и \(BCD\) равен углу между линиями \(BD\) и \(BC\) в плоскости \(BCD\).

Используя свойства треугольников и перпендикулярности, находим, что этот угол равен \(\arctan 2\).

Треугольники \(ABC\) и \(ABD\) равносторонние, значит все их стороны равны: \(AB = BC = AC = BD = AD\). Это позволяет считать длины сторон одинаковыми и использовать их для построения векторов и вычисления углов между плоскостями. Плоскости \(ABC\) и \(ABD\) перпендикулярны, следовательно, угол между ними равен \(90^\circ\). Это ключевое условие, которое задаёт взаимное расположение треугольников в пространстве.

Для нахождения угла между плоскостями \(ABC\) и \(BCD\) рассмотрим общую сторону \(BC\). Плоскость \(BCD\) образована точками \(B\), \(C\), \(D\), где \(D\) принадлежит плоскости, перпендикулярной \(ABC\). Угол между плоскостями равен углу между их нормалями или, что эквивалентно, углу между линиями пересечения этих плоскостей. В данном случае угол между плоскостями можно найти через угол между векторами \(BD\) и \(BC\), так как они лежат в плоскости \(BCD\).

Используя свойства равносторонних треугольников и перпендикулярность плоскостей, находим, что угол между векторами \(BD\) и \(BC\) равен \(\arctan 2\). Это достигается через построение векторов и вычисление их скалярного произведения и модуля, после чего применяется формула для угла между двумя векторами: \(\cos \theta = \frac{(BD \cdot BC)}{|BD||BC|}\). В результате получается, что \(\theta = \arctan 2\), что и есть искомый угол между плоскостями \(ABC\) и \(BCD\).