ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 15.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\), точка \(B\) — в плоскости \(\beta\), плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны и пересекаются по прямой \(t\). Точка \(A\) удалена от прямой \(t\) на \(8\) см, а точка \(B\) — на \(15\) см. Найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(t\).

Точки \(A\) и \(B\) лежат в перпендикулярных плоскостях, расстояния от них до линии пересечения \(t\) равны 8 и 15 см соответственно. Расстояние между прямой \(AB\) и \(t\) — это высота в прямоугольном треугольнике с катетами 8 и 15.

Расстояние вычисляется по формуле \(p(AB; t) = \frac{8 \times 15}{\sqrt{8^2 + 15^2}} = \frac{120}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{120}{17}\).

Ответ: \(p(AB; t) = \frac{120}{17}\) см.

Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, которые перпендикулярны друг другу. Линия \(t\) является линией пересечения этих плоскостей. Расстояния от точек \(A\) и \(B\) до этой линии равны 8 см и 15 см. Поскольку плоскости перпендикулярны, расстояния от точек до линии \(t\) можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника, где гипотенузой является отрезок, соединяющий точки \(A\) и \(B\).

Чтобы найти расстояние между прямой \(AB\) и линией \(t\), нужно рассмотреть высоту этого треугольника, опущенную на гипотенузу. Эта высота и есть искомое расстояние. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна \(\sqrt{8^{2} + 15^{2}} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\) см. Площадь треугольника \(S\) равна половине произведения катетов: \(S = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60\) см².

Высота \(h\) на гипотенузу вычисляется как отношение удвоенной площади к длине гипотенузы: \(h = \frac{2S}{17} = \frac{2 \times 60}{17} = \frac{120}{17}\) см. Таким образом, расстояние между прямой \(AB\) и линией \(t\) равно \(\frac{120}{17}\) см.